Considere o ar estagnado na borda frontal da asa de um avião e o ar fluindo na superfície superior desta asa a uma velocidade v. Admita que a pressão na borda dianteira seja aproximadamente igual à pressão atmosférica e determine o maior valor possível para v na linha de corrente do escoamento. Admita que o ar seja incompressível e utilize a equação de Bernoulli. Considere que a massa específica do ar vale
. Como esta velocidade pode ser comparada com a velocidade do som (
) nessas condições? Você pode explicar esta diferença? Por que deveria haver alguma relação entre essas grandezas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar como o ar se comporta na frente da asa de um avião e na parte de cima dela, onde ele está se movendo com uma certa velocidade
. A pressão na frente da asa é igual à pressão atmosférica. A gente vai usar a equação de Bernoulli, que relaciona velocidade e pressão em um fluxo de fluido incompressível. Também sabemos que a densidade do ar é
. No final, vamos comparar a velocidade
com a velocidade do som, que é
, e entender por que essas duas velocidades estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Bernoulli para um fluxo de fluido incompressível e sem variação de altura:
Aqui,
é a pressão,
é a densidade do fluido (no caso, o ar), e
é a velocidade do fluido.
Passo 3
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre dois pontos: na borda frontal da asa (ponto 1) e na superfície superior da asa (ponto 2).
No ponto 1 (borda frontal):
- A velocidade do ar é zero (
) porque o ar está estagnado. - A pressão é igual à pressão atmosférica (
).
No ponto 2 (superfície superior):
- A velocidade do ar é
. - A pressão é
, que queremos relacionar.
Passo 4
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
Substituindo os valores conhecidos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para encontrar o maior valor possível de
, consideramos que a pressão
não pode ser negativa (isso não faria sentido fisicamente). Assim, o menor valor possível para
é zero. Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos isolar
para encontrar o maior valor possível:
Passo 7
Mas espera aí! Como não temos o valor numérico da pressão atmosférica (
) no enunciado, precisamos assumir um valor padrão. A pressão atmosférica ao nível do mar é aproximadamente
.
Então:
Resposta
O maior valor possível para a velocidade
na linha de corrente do escoamento é aproximadamente
. Comparando com a velocidade do som, que é
, percebemos que
é maior. Isso acontece porque, ao calcular a velocidade máxima usando a equação de Bernoulli assumindo fluxo incompressível, estamos ignorando os efeitos da compressibilidade do ar que se tornam significativos em velocidades próximas ou superiores à velocidade do som. Em realidade, antes de atingir ou exceder a velocidade do som, o fluxo de ar se torna compressível, o que limita a velocidade máxima efetiva a algo próximo à velocidade do som.
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