(a) Considere um fluido de massa específica rho que escoa com velocidade v1 e passa abruptamente de uma tubulação cilíndrica com área de seção transversal a 1, para outra tubulação cilíndrica mais larga, cuja área de seção transversal é a2. O jato de líquido que emerge da tubulação estreita mistura-se com o que se encontra na tubulação mais larga, depois ele escoa quase uniformemente com velocidade média v2. Sem se preocupar com os detalhes de menor importância relacionados à mistura, utilize o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de pressão devido à mistura é aproximadamente igual a p2-p1=rho v2(v1-v2) (b) Mostre, partindo da equação de Bernoulli, que em uma tubulação cuja seção transversal aumente gradativamente esta diferença de pressão pode ser expressa por p2-p1=rho(v1^2-v2^2) © Determine a perda de pressão devido ao alargamento brusco da tubulação. Você seria capaz de fazer uma analogia com os choques eleásticos e inelásticos entre partículas, estudado na mecânica?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluido com densidade rho que está escoando de uma tubulação estreita com área de seção transversal A1 e velocidade v1, passando para uma tubulação mais larga com área A2. Quando isso acontece, o fluido mistura e passa a escoar com uma nova velocidade média v2. A questão quer que a gente use o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de pressão devido a essa mistura é dado por:
p2 - p1 = rho v2(v1 - v2)
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento linear e como aplicá-lo em sistemas fluidos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento linear. O momento linear ( p) de um objeto é dado pela massa multiplicada pela velocidade:
p = m cdot v
No caso de um fluido, a massa que está se movendo por segundo (fluxo de massa) é importante. Como estamos lidando com fluxo contínuo, podemos usar a densidade ( rho) para relacionar a massa e o volume.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo de massa na tubulação estreita (antes da mistura). O fluxo de massa ( dotm) é dado por:
dotm1 = rho cdot A1 cdot v1
E na tubulação larga (após a mistura):
dotm2 = rho cdot A2 cdot v2
Como a massa é conservada, dotm1 = dotm2. Isso nos dá:
rho cdot A1 cdot v1 = rho cdot A2 cdot v2

Passo 4

Agora, vamos considerar o momento linear. A mudança no momento por unidade de tempo é igual à força resultante (Lei de Newton para o momento linear):
F = dpdt
No nosso caso, a força resultante será a diferença de pressão multiplicada pela área da seção transversal.

Passo 5

A força resultante devido à diferença de pressão é:
F = (p2 - p1) cdot A2
E a mudança no momento por unidade de tempo é:
F = dotm cdot (v2 - v1)
Como dotm = rho cdot A2 cdot v2, substituindo na equação da força:
(p2 - p1) cdot A2 = rho cdot A2 cdot v2 cdot (v2 - v1)

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por A2:
p2 - p1 = rho cdot v2 cdot (v2 - v1)
Rearranjando os termos:
p2 - p1 = rho v2 (v1 - v2)

Resposta

Assim, mostramos que o aumento de pressão devido à mistura é:
p2 - p1 = rho v2(v1 - v2)

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