(a) Considere um fluido de massa específica
que escoa com velocidade
e passa abruptamente de uma tubulação cilíndrica com área de seção transversal a
, para outra tubulação cilíndrica mais larga, cuja área de seção transversal é
. O jato de líquido que emerge da tubulação estreita mistura-se com o que se encontra na tubulação mais larga, depois ele escoa quase uniformemente com velocidade média
. Sem se preocupar com os detalhes de menor importância relacionados à mistura, utilize o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de pressão devido à mistura é aproximadamente igual a
(b) Mostre, partindo da equação de Bernoulli, que em uma tubulação cuja seção transversal aumente gradativamente esta diferença de pressão pode ser expressa por
© Determine a perda de pressão devido ao alargamento brusco da tubulação. Você seria capaz de fazer uma analogia com os choques eleásticos e inelásticos entre partículas, estudado na mecânica?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluido com densidade
que está escoando de uma tubulação estreita com área de seção transversal
e velocidade
, passando para uma tubulação mais larga com área
. Quando isso acontece, o fluido mistura e passa a escoar com uma nova velocidade média
. A questão quer que a gente use o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de pressão devido a essa mistura é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento linear e como aplicá-lo em sistemas fluidos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento linear. O momento linear (
) de um objeto é dado pela massa multiplicada pela velocidade:
No caso de um fluido, a massa que está se movendo por segundo (fluxo de massa) é importante. Como estamos lidando com fluxo contínuo, podemos usar a densidade (
) para relacionar a massa e o volume.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo de massa na tubulação estreita (antes da mistura). O fluxo de massa (
) é dado por:
E na tubulação larga (após a mistura):
Como a massa é conservada,
. Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos considerar o momento linear. A mudança no momento por unidade de tempo é igual à força resultante (Lei de Newton para o momento linear):
No nosso caso, a força resultante será a diferença de pressão multiplicada pela área da seção transversal.
Passo 5
A força resultante devido à diferença de pressão é:
E a mudança no momento por unidade de tempo é:
Como
, substituindo na equação da força:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando os termos:
Resposta
Assim, mostramos que o aumento de pressão devido à mistura é: