Quantos comitês podemos formar a partir de um grupo de 5 homens e 8 mulheres contendo © um presidente (homem ou mulher), 2 homens e 3 mulheres?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber quantos comitês podemos formar a partir de um grupo de 5 homens e 8 mulheres. Cada comitê deve ter:
  • 1 presidente (pode ser homem ou mulher),
  • 2 homens, e
  • 3 mulheres.
Vamos usar conceitos de combinações, que ajudam a calcular de quantas maneiras podemos escolher elementos de um grupo sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar duas possibilidades para o presidente: ele pode ser um homem ou uma mulher.
Caso 1: O presidente é um homem.
  • Escolher o presidente: Temos 5 homens, então há 5 maneiras de escolher o presidente.
  • Escolher os outros 2 homens: Depois de escolher o presidente, restam 4 homens. Usamos combinação para escolher 2 deles: binom42 = 4!2!(4-2)! = 6
  • Escolher as 3 mulheres: Temos 8 mulheres disponíveis: binom83 = 8!3!(8-3)! = 56
  • Total para este caso: 5 times 6 times 56 = 1680
Caso 2: O presidente é uma mulher.
  • Escolher o presidente: Temos 8 mulheres, então há 8 maneiras de escolher o presidente.
  • Escolher os 2 homens: Todos os 5 homens estão disponíveis: binom52 = 5!2!(5-2)! = 10
  • Escolher as 3 mulheres restantes: Depois de escolher a presidente, restam 7 mulheres: binom73 = 7!3!(7-3)! = 35
  • Total para este caso: 8 times 10 times 35 = 2800

Resposta

Somando os dois casos, o número total de comitês que podemos formar é:
1680 + 2800 = 4480
Portanto, podemos formar 4.480 comitês.

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