Há duas retas que são tangentes à parábola
e passam pelo ponto
. O produto das inclinações dessas duas retas é igual a:
a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96
a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: duas retas são tangentes à parábola
e passam pelo ponto
. Nosso objetivo é encontrar o produto das inclinações dessas duas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas (para encontrar a inclinação das tangentes) e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a inclinação de qualquer reta que seja tangente à parábola
. A inclinação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico é dada pela derivada da função naquele ponto. Vamos calcular a derivada de
:
Essa expressão nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
da parábola.
Passo 3
Sabemos que as retas tangentes passam pelo ponto
. Vamos chamar a coordenada
de tangência na parábola de
. Assim, a inclinação da reta tangente nesse ponto será:
A equação da reta tangente que passa por
na parábola pode ser escrita usando a forma do ponto-inclinação:
Sabemos que
, então substituindo, temos:
Passo 4
Como as retas tangentes também passam pelo ponto
, substituímos
e
na equação da tangente:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para resolver para
:
Simplificando:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Passo 7
Com os valores de
, encontramos as inclinações das retas tangentes usando
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Finalmente, calculamos o produto das inclinações das duas retas:
Resposta
O produto das inclinações das duas retas é igual a 96.
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e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
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