Há duas retas que são tangentes à parábola
e passam pelo ponto . O produto das inclinações dessas duas retas é igual a:
a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: duas retas são tangentes à parábola e passam pelo ponto . Nosso objetivo é encontrar o produto das inclinações dessas duas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas (para encontrar a inclinação das tangentes) e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação de qualquer reta que seja tangente à parábola . A inclinação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico é dada pela derivada da função naquele ponto. Vamos calcular a derivada de :
Essa expressão nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da parábola.

Passo 3

Sabemos que as retas tangentes passam pelo ponto . Vamos chamar a coordenada de tangência na parábola de . Assim, a inclinação da reta tangente nesse ponto será:
A equação da reta tangente que passa por na parábola pode ser escrita usando a forma do ponto-inclinação:
Sabemos que , então substituindo, temos:

Passo 4

Como as retas tangentes também passam pelo ponto , substituímos e na equação da tangente:
Vamos simplificar essa equação para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para resolver para :
Simplificando:

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:

Passo 7

Com os valores de , encontramos as inclinações das retas tangentes usando :
Para :
Para :

Passo 8

Finalmente, calculamos o produto das inclinações das duas retas:

Resposta

O produto das inclinações das duas retas é igual a 96.

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Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
Encontre
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