Encontre y' pela derivação implícita de: raiz(xy) + 2x = raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar usando derivação implícita na equação . O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas e a técnica de derivação implícita. Vamos utilizar regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Isso significa:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia quando derivarmos termos que envolvem .

Passo 4

Derivando o lado esquerdo:
Para , aplicamos a regra da cadeia:
E para , usamos a regra do produto:
Então, a derivada do primeiro termo é:
E a derivada de é simplesmente .

Passo 5

Derivando o lado direito:

Passo 6

Juntando tudo, temos:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 8

Distribuindo :

Passo 9

Isolando os termos com :
Fatorando :

Passo 10

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A derivada é:

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