Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as constantes , e das funções e que têm uma tangente em comum no ponto . Isso significa que, nesse ponto específico, as duas funções não só passam pelo mesmo ponto, mas também têm a mesma inclinação (ou seja, a mesma derivada). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que as duas funções passam pelo ponto . Isso significa que, substituindo e em ambas as equações, elas devem ser verdadeiras.
Para a primeira função:
Simplificando:
çã
Para a segunda função:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos garantir que as derivadas das duas funções sejam iguais no ponto , já que a tangente é comum. Vamos calcular as derivadas de ambas as funções.
Para a primeira função :
Para a segunda função :
Como as derivadas devem ser iguais no ponto :
Sabemos que , então substituindo:
Primeiro, vamos calcular :
Então:

Passo 4

Agora que temos o valor de e , podemos voltar à Equação 1 para encontrar :
Substituindo :

Resposta

As constantes são:

Exercícios relacionados

Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada das funções:
Encontre a derivada das funções:
Encontre pela derivação implícita de:
Há duas retas que são tangentes à parábola
e passam pelo ponto . O produto das inclinações dessas duas retas é igual a:
a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96