Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as constantes
,
e
das funções
e
que têm uma tangente em comum no ponto
. Isso significa que, nesse ponto específico, as duas funções não só passam pelo mesmo ponto, mas também têm a mesma inclinação (ou seja, a mesma derivada). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que as duas funções passam pelo ponto
. Isso significa que, substituindo
e
em ambas as equações, elas devem ser verdadeiras.
Para a primeira função:
Simplificando:
Para a segunda função:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que as derivadas das duas funções sejam iguais no ponto
, já que a tangente é comum. Vamos calcular as derivadas de ambas as funções.
Para a primeira função
:
Para a segunda função
:
Como as derivadas devem ser iguais no ponto
:
Sabemos que
, então substituindo:
Primeiro, vamos calcular
:
Então:
Passo 4
Agora que temos o valor de
e
, podemos voltar à Equação 1 para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
As constantes são:
Exercícios relacionados
Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada das funções:
Encontre a derivada das funções:
Encontre
pela derivação implícita de:
Há duas retas que são tangentes à parábola
e passam pelo ponto
. O produto das inclinações dessas duas retas é igual a:
a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96
a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96