Encontre y' pela derivação implícita de: x = sec(1/y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita. A equação que a gente tem é:
Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como a secante e usar a técnica de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, temos simplesmente , cuja derivada é 1.

Passo 3

Agora, vamos para o lado direito: . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de é multiplicada pela derivada de . Nesse caso, .

Passo 4

Precisamos agora calcular . Aplicando a regra do poder, temos:
Aqui, é a derivada que a gente quer encontrar.

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na expressão anterior, temos:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Finalmente, isolando :

Resposta

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