Seja o mesmo lote de 12 itens visto em aula, dos quais 4 são defeitusos e 8 são perfeitos (não-defeituosos). Suponha que, por distração, a cada item extraído, verifica-se se o mesmo é perfeito ou defeituoso e, logo após, ele é devolvido ao lote. Ou seja, temos extrações uma a uma e com reposição. Neste contexto, seja a variável aleatória X: número de registros de itens defeituosos em três extrações.
a) Obtenha a função de probabilidade de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um lote de 12 itens, onde 4 são defeituosos e 8 estão perfeitos. A cada vez que a gente tira um item, dá uma olhada se ele é defeituoso ou não e depois devolve pro lote. Isso significa que a probabilidade de tirar um defeituoso ou perfeito é sempre a mesma em cada extração.
O que a gente precisa encontrar é a função de probabilidade da variável aleatória $ X $, que representa o número de itens defeituosos em três extrações. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuições binomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades envolvidas. Como temos reposição, cada extração é independente das outras. A probabilidade de tirar um item defeituoso ($ p $) é:
p ú
E a probabilidade de tirar um item perfeito ($ q $) é:
p = Número de itens defeituososTotal de itens = 412 = 13

Passo 3

Agora, a gente quer saber a probabilidade de tirar exatamente $ k $ itens defeituosos em três extrações. Isso segue a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso).
A fórmula da distribuição binomial é:
k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (no caso, 3 extrações),
  • $ k $ é o número de sucessos (itens defeituosos),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial.

Passo 4

Vamos calcular para cada valor possível de $ k $ (0, 1, 2, 3):
  1. Para $ k = 0 $ (nenhum defeituoso):
k
  1. Para $ k = 1 $ (um defeituoso):
k = 0
  1. Para $ k = 2 $ (dois defeituosos):
P(X = 0) = binom30 (13)^0 (23)^3 = 1 times 1 times 827 = 827
  1. Para $ k = 3 $ (três defeituosos):
k = 1

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é:
X

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