Suponha Y uma variável aleatória discreta com espaço de variação RY=1,2,3,4,5 e função de probabilidade dada por
pY(k)=P(Y=k)=c k
onde c é uma constante positiva.
a) Obtenha o valor da constante c de forma que pY seja de fato uma função de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta $ Y $ que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 ou 5. A função de probabilidade dela é dada por $ p_Y(k) = P(Y = k) = c \cdot k $, onde $ c $ é uma constante positiva que precisamos descobrir. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ c $ de forma que $ p_Y $ realmente seja uma função de probabilidade válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de probabilidade ser válida. Para que $ p_Y(k) $ seja uma função de probabilidade, a soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de $ Y $ deve ser igual a 1. Em outras palavras:
pY(k)

Passo 3

Vamos aplicar isso no nosso caso. Sabemos que $ \mathbb{R}_Y = {1, 2, 3, 4, 5} $, então devemos somar as probabilidades para cada um desses valores:
RY = 1, 2, 3, 4, 5
Substituindo $ p_Y(k) $ por $ c \cdot k $, temos:
pY(1) + pY(2) + pY(3) + pY(4) + pY(5) = 1

Passo 4

Agora, vamos somar os termos:
c(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1 c cdot 15 = 1
Para encontrar $ c $, basta dividir ambos os lados por 15:
c

Resposta

O valor da constante $ c $ é $ \frac{1}{15} $.

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