Suponha
uma variável aleatória discreta com espaço de variação
e função de probabilidade dada por
onde
é uma constante positiva.
a) Obtenha o valor da constante
de forma que
seja de fato uma função de probabilidade.
a) Obtenha o valor da constante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta $ Y $ que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 ou 5. A função de probabilidade dela é dada por $ p_Y(k) = P(Y = k) = c \cdot k $, onde $ c $ é uma constante positiva que precisamos descobrir. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ c $ de forma que $ p_Y $ realmente seja uma função de probabilidade válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de probabilidade ser válida. Para que $ p_Y(k) $ seja uma função de probabilidade, a soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de $ Y $ deve ser igual a 1. Em outras palavras:
Passo 3
Vamos aplicar isso no nosso caso. Sabemos que $ \mathbb{R}_Y = {1, 2, 3, 4, 5} $, então devemos somar as probabilidades para cada um desses valores:
Substituindo $ p_Y(k) $ por $ c \cdot k $, temos:
Passo 4
Agora, vamos somar os termos:
Para encontrar $ c $, basta dividir ambos os lados por 15:
Resposta
O valor da constante $ c $ é $ \frac{1}{15} $.