No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
22)
.
22)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência
. Aqui estamos lidando com logaritmos naturais, e nosso objetivo é encontrar o limite quando
fica muito grande, ou seja, quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar propriedades de logaritmos e técnicas de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos que diz que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com a fração
quando
tende ao infinito. Vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a zero. Portanto, a expressão se simplifica para:
Passo 5
Agora, voltando ao logaritmo, temos que:
Passo 6
No entanto, precisamos ser mais precisos. Vamos expandir
usando a aproximação
para
pequeno:
Passo 7
Agora, ao aplicar o limite, temos:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.
Exercícios relacionados
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções
Duas variáveis
e y são funções duma variável independente
e estão relacionadas pela seguinte equação
. Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 2 quando
, então, determine qual a taxa de variação de y em relação a
, nesse mesmo instante;
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e)
(e)