No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
22) lim [ln k-ln (k-1)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Aqui estamos lidando com logaritmos naturais, e nosso objetivo é encontrar o limite quando fica muito grande, ou seja, quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar propriedades de logaritmos e técnicas de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos que diz que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Ou seja:
ln k - ln(k - 1) = ln( kk - 1 )

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com a fração kk - 1 = k/k(k - 1)/k = 11 - 1k quando tende ao infinito. Vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 4

Quando 11 - 0 = 1 tende ao infinito, o termo tende a zero. Portanto, a expressão se simplifica para:

Passo 5

Agora, voltando ao logaritmo, temos que:
ln( kk - 1 ) approx ln(1) = 0

Passo 6

No entanto, precisamos ser mais precisos. Vamos expandir ln( kk - 1 ) = ln(1 + 1k - 1) approx 1k - 1 usando a aproximação para pequeno:

Passo 7

Agora, ao aplicar o limite, temos:
limk to infty 1k - 1 = 0

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

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