A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: Entre 700 e 1000 dias;
Passo 1
Beleza, então o enunciado fala que a duração de um componente eletrônico é distribuída normalmente com média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. A gente quer saber qual a probabilidade desse componente durar entre 700 e 1000 dias. Vamos usar conceitos de **Distribuição Normal** e **Padronização** para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a distribuição normal é simétrica e é completamente descrita pela média ($\mu$) e pelo desvio padrão ($\sigma$). Nesse caso, $\mu = 850$ e $\sigma = 45$. Para encontrar a probabilidade entre dois valores, a gente precisa converter esses valores para **escores z**.
Passo 3
A padronização ou conversão para o escore z é feita pela fórmula:
$$
z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
Onde:
- $X$ é o valor que queremos padronizar,
- $\mu$ é a média,
- $\sigma$ é o desvio padrão.
Passo 4
Vamos calcular o z para $X = 700$:
$$
z_1 = \frac{700 - 850}{45} = \frac{-150}{45} \approx -3,33
$$
Passo 5
Agora, vamos calcular o z para $X = 1000$:
$$
z_2 = \frac{1000 - 850}{45} = \frac{150}{45} \approx 3,33
$$
Passo 6
Com os valores de z prontos, precisamos usar a **Tabela da Distribuição Normal Padrão** ou uma função de cálculo para encontrar as probabilidades correspondentes a $z_1$ e $z_2$.
- Para $z_1 \approx -3,33$, a probabilidade acumulada é aproximadamente $0,0004$.
- Para $z_2 \approx 3,33$, a probabilidade acumulada é aproximadamente $0,9996$.
Passo 7
A probabilidade de o componente durar entre 700 e 1000 dias é a diferença entre essas duas probabilidades:
$$
P(700 \leq X \leq 1000) = P(z \leq 3,33) - P(z \leq -3,33) = 0,9996 - 0,0004 = 0,9992
$$
Resposta
A probabilidade de um componente durar entre 700 e 1000 dias é de aproximadamente **99,92%**.