Durante as aulas, um professor elaborou quatro questões distintas para que os alunos respondessem no quadro. A escolha dos alunos que responderão as questões será feita por forma de sorteio, sendo que um aluno sorteado responderá uma única questão. Então, de quantas formas possíveis esses alunos podem ser selecionados, sabendo que há 20 alunos na turma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um professor que preparou 4 questões diferentes para os alunos responderem no quadro. Ele vai sortear quais alunos vão responder essas questões, e cada aluno sorteado vai responder apenas uma questão. A turma tem 20 alunos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, que nos ajuda a contar diferentes maneiras de organizar ou selecionar itens.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada uma das 4 questões vai ser respondida por um aluno diferente. Isso significa que estamos escolhendo 4 alunos distintos dentre os 20 disponíveis, e cada aluno será associado a uma questão específica.

Passo 3

Aqui, vamos aplicar o conceito de arranjo. Um arranjo considera a ordem dos elementos, ou seja, quem responde qual questão importa porque as questões são distintas. A fórmula para calcular o número de arranjos de n elementos tomados de r em r é:
A(n, r) = n!(n - r)!
Onde:
  • n! é o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.
  • r é o número de elementos a serem escolhidos.

Passo 4

No nosso caso, temos n = 20 alunos e r = 4 questões. Substituindo na fórmula:
A(20, 4) = 20!(20 - 4)! = 20!16!

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que:
20!16! = 20 times 19 times 18 times 17
Isso porque os termos de 16! se cancelam.

Passo 6

Agora, vamos calcular:
20 times 19 = 380
380 times 18 = 6,840
6,840 times 17 = 116,280

Resposta

Portanto, existem 116.280 formas possíveis de selecionar os alunos para responderem as 4 questões.

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