Durante um experimento, obteve-se a fórmula para a população de bactérias: q(t)=20.23t. Em que t é o tempo, em hora, e q(t) é a população, em milhares de bactérias. Se a população de bactérias era inicialmente de 20 mil, então após quanto tempo ela será dobrada?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e qual o conteúdo necessário para resolver. Temos uma função que descreve a população de bactérias em função do tempo: $ q(t) = 20 \cdot 2.3^t $. Aqui, $ t $ é o tempo em horas e $ q(t) $ é a população de bactérias em milhares. A pergunta é: em quanto tempo a população inicial de 20 mil bactérias irá dobrar, ou seja, chegar a 40 mil bactérias. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial e logaritmos.
Passo 2
Vamos representar o crescimento da população. Sabemos que a população inicial é de 20 mil bactérias, e a função que descreve a população após $ t $ horas é $ q(t) = 20 \cdot 2.3^t $. Queremos encontrar o tempo $ t $ para que a população seja 40 mil, ou seja, $ q(t) = 40 $.
Passo 3
A equação para encontrar $ t $ será:
Passo 4
Vamos resolver para $ t $. Primeiro, dividimos os dois lados da equação por 20:
Então:
Passo 5
Agora, para resolver para $ t $, aplicamos o logaritmo em ambos os lados. Podemos usar logaritmo natural (ln) ou logaritmo na base 10 (log), mas usaremos o natural:
Passo 6
Usando a propriedade dos logaritmos que permite passar o expoente para multiplicar, temos:
Passo 7
Isolando $ t $:
Passo 8
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A população de bactérias irá dobrar aproximadamente em 0,8329 horas.