Durante um experimento, obteve-se a fórmula para a população de bactérias: q(t)=20.23t. Em que t é o tempo, em hora, e q(t) é a população, em milhares de bactérias. Se a população de bactérias era inicialmente de 20 mil, então após quanto tempo ela será dobrada?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e qual o conteúdo necessário para resolver. Temos uma função que descreve a população de bactérias em função do tempo: $ q(t) = 20 \cdot 2.3^t $. Aqui, $ t $ é o tempo em horas e $ q(t) $ é a população de bactérias em milhares. A pergunta é: em quanto tempo a população inicial de 20 mil bactérias irá dobrar, ou seja, chegar a 40 mil bactérias. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial e logaritmos.

Passo 2

Vamos representar o crescimento da população. Sabemos que a população inicial é de 20 mil bactérias, e a função que descreve a população após $ t $ horas é $ q(t) = 20 \cdot 2.3^t $. Queremos encontrar o tempo $ t $ para que a população seja 40 mil, ou seja, $ q(t) = 40 $.

Passo 3

A equação para encontrar $ t $ será:
t

Passo 4

Vamos resolver para $ t $. Primeiro, dividimos os dois lados da equação por 20:
t
Então:
4020 = 2.3^t

Passo 5

Agora, para resolver para $ t $, aplicamos o logaritmo em ambos os lados. Podemos usar logaritmo natural (ln) ou logaritmo na base 10 (log), mas usaremos o natural:
t

Passo 6

Usando a propriedade dos logaritmos que permite passar o expoente para multiplicar, temos:
ln(2) = t cdot ln(2.3)

Passo 7

Isolando $ t $:
t

Passo 8

Calculando os valores:
ln(2) approx 0,6931
ln(2.3) approx 0,8329
Então:
t approx 0,69310,8329 approx 0,8329 horas

Resposta

A população de bactérias irá dobrar aproximadamente em 0,8329 horas.

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