Durante um intervalo de tempo
, o volante de um gerador gira de um ângulo
, com
rad e tem s. Determine se a aceleração atinge um valor máximo ou minimo, e se ocorrer, em que instante de tempo isso ocorre. Calcule a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular nesse instante de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um volante de gerador, onde a posição angular
está dada por uma função do tempo. O conteúdo que vamos usar aqui é a cinemática rotacional, que envolve entender como a posição, velocidade e aceleração angular mudam com o tempo. Para resolver, a gente vai precisar derivar a função da posição para encontrar a velocidade e, depois, derivar a velocidade para achar a aceleração. Assim, podemos analisar se a aceleração atinge um valor máximo ou mínimo e descobrir em que instante isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função da posição angular:
Passo 3
Para encontrar a velocidade angular
, precisamos derivar a função da posição
em relação ao tempo
. A derivada da posição nos dá a velocidade:
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos achar a aceleração angular
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando a derivada:
Passo 5
Para determinar se a aceleração atinge um valor máximo ou mínimo, precisamos analisar a função da aceleração
. Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada da aceleração é zero.
Primeiro, derivamos
para encontrar
:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da aceleração antes e depois de
.
Escolhendo valores próximos a
:
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
Observamos que a aceleração aumenta até
e depois diminui, indicando que
é um ponto de máximo para a aceleração.
Passo 7
Agora, vamos calcular a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular nesse instante de
.
-
Posição angular
: -
Velocidade angular
: -
Aceleração angular
:
Resposta
A aceleração atinge um valor máximo de
no instante
. Nesse momento, a posição angular é
, a velocidade angular é
e a aceleração angular é
.