Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo theta=2,00 r+4,00 t^3-0,500 t^4, com theta em rad e tem s. Determine se a aceleração atinge um valor máximo ou minimo, e se ocorrer, em que instante de tempo isso ocorre. Calcule a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular nesse instante de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um volante de gerador, onde a posição angular theta(t) está dada por uma função do tempo. O conteúdo que vamos usar aqui é a cinemática rotacional, que envolve entender como a posição, velocidade e aceleração angular mudam com o tempo. Para resolver, a gente vai precisar derivar a função da posição para encontrar a velocidade e, depois, derivar a velocidade para achar a aceleração. Assim, podemos analisar se a aceleração atinge um valor máximo ou mínimo e descobrir em que instante isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função da posição angular:
theta(t) = 2,00, rad + 4,00, t^3 - 0,500, t^4

Passo 3

Para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos derivar a função da posição theta(t) em relação ao tempo t. A derivada da posição nos dá a velocidade:
omega(t) = dthetadt = ddt(2,00 + 4,00, t^3 - 0,500, t^4)
Calculando a derivada:
omega(t) = 12,00, t^2 - 2,00, t^3

Passo 4

Agora, vamos achar a aceleração angular alpha(t), que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
alpha(t) = domegadt = ddt(12,00, t^2 - 2,00, t^3)
Calculando a derivada:
alpha(t) = 24,00, t - 6,00, t^2

Passo 5

Para determinar se a aceleração atinge um valor máximo ou mínimo, precisamos analisar a função da aceleração alpha(t). Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada da aceleração é zero.
Primeiro, derivamos alpha(t) para encontrar dalphadt:
dalphadt = 24,00 - 12,00, t
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
24,00 - 12,00, t = 0 12,00, t = 24,00 t = 2,00, s

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da aceleração antes e depois de t = 2,00, s.
Escolhendo valores próximos a t = 2,00, s:
  • Para t < 2,00, digamos t = 1,00, s:
    alpha(1,00) = 24,00 times 1,00 - 6,00 times (1,00)^2 = 24,00 - 6,00 = 18,00, rad/s² ²
  • Para t > 2,00, digamos t = 3,00, s:
    alpha(3,00) = 24,00 times 3,00 - 6,00 times (3,00)^2 = 72,00 - 54,00 = 18,00, rad/s² ²
Observamos que a aceleração aumenta até t = 2,00, s e depois diminui, indicando que t = 2,00, s é um ponto de máximo para a aceleração.

Passo 7

Agora, vamos calcular a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular nesse instante de t = 2,00, s.
  1. Posição angular theta(2,00):
    theta(2,00) = 2,00 + 4,00 times (2,00)^3 - 0,500 times (2,00)^4 theta(2,00) = 2,00 + 4,00 times 8 - 0,500 times 16 theta(2,00) = 2,00 + 32,00 - 8,00 theta(2,00) = 26,00, rad
  2. Velocidade angular omega(2,00):
    omega(2,00) = 12,00 times (2,00)^2 - 2,00 times (2,00)^3 omega(2,00) = 12,00 times 4 - 2,00 times 8 omega(2,00) = 48,00 - 16,00 omega(2,00) = 32,00, rad/s
  3. Aceleração angular alpha(2,00):
    alpha(2,00) = 24,00 times 2,00 - 6,00 times (2,00)^2 alpha(2,00) = 48,00 - 24,00 alpha(2,00) = 24,00, rad/s² ²

Resposta

A aceleração atinge um valor máximo de 24,00, rad/s²² no instante t = 2,00, s. Nesse momento, a posição angular é 26,00, rad, a velocidade angular é 32,00, rad/s e a aceleração angular é 24,00, rad/s²².

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