Durante um jogo de bilhar (sinuca) a bola 8 move-se, sobre a mesa, com velocidade uniforme de módulo igual a v ao longo de uma linha reta e colide unidimensionalmente a bola 15, de mesma massa, e que estava inicialmente em repouso. Considere o choque elástico, despreze atritos e resistências. Complete corretamente a afirmação a seguir: Logo após o choque a bola 8 fica em _____________ e a bola 15 fica em ____________. A velocidade da bola 15 após o choque possui módulo igual a __________.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma situação em um jogo de bilhar onde a bola 8 está se movendo com velocidade constante $ v $ e vai colidir com a bola 15, que está parada. Queremos descobrir o que acontece com cada bola depois dessa colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de choque elástico e conservação da quantidade de movimento e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um choque elástico. Nesse tipo de colisão, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética total do sistema são conservadas. Isso significa que a soma das quantidades de movimento antes da colisão é igual à soma depois da colisão, e o mesmo vale para a energia cinética.
Passo 3
Vamos considerar que as duas bolas têm a mesma massa, que chamaremos de $ m $. A bola 8 está se movendo com velocidade $ v $ e a bola 15 está parada, ou seja, sua velocidade inicial é 0.
Passo 4
Aplicando a conservação da quantidade de movimento, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicando a conservação da energia cinética:
Simplificando e multiplicando por 2/m:
Passo 6
Temos agora duas equações:
- $ v = v_8’ + v_{15}’ $
- $ v^2 = v_8’^2 + v_{15}’^2 $
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar $ v_8’ = v - v_{15}’ $ e substituir na segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Subtraindo $ v^2 $ de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Fatorando $ v_{15}’ $:
Assim, $ v_{15}’ = 0 $ ou $ v_{15}’ = v $. Como a bola 15 estava parada inicialmente e há uma colisão, a única solução física é $ v_{15}’ = v $.
Passo 7
Substituindo $ v_{15}’ = v $ na primeira equação:
Então:
Resposta
Logo após o choque a bola 8 fica em repouso e a bola 15 fica em movimento com velocidade $ v $. A velocidade da bola 15 após o choque possui módulo igual a $ v $.