Durante um jogo de bilhar (sinuca) a bola 8 move-se, sobre a mesa, com velocidade uniforme de módulo igual a v ao longo de uma linha reta e colide unidimensionalmente a bola 15, de mesma massa, e que estava inicialmente em repouso. Considere o choque elástico, despreze atritos e resistências. Complete corretamente a afirmação a seguir: Logo após o choque a bola 8 fica em _____________ e a bola 15 fica em ____________. A velocidade da bola 15 após o choque possui módulo igual a __________.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma situação em um jogo de bilhar onde a bola 8 está se movendo com velocidade constante $ v $ e vai colidir com a bola 15, que está parada. Queremos descobrir o que acontece com cada bola depois dessa colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de choque elástico e conservação da quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um choque elástico. Nesse tipo de colisão, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética total do sistema são conservadas. Isso significa que a soma das quantidades de movimento antes da colisão é igual à soma depois da colisão, e o mesmo vale para a energia cinética.

Passo 3

Vamos considerar que as duas bolas têm a mesma massa, que chamaremos de $ m $. A bola 8 está se movendo com velocidade $ v $ e a bola 15 está parada, ou seja, sua velocidade inicial é 0.

Passo 4

Aplicando a conservação da quantidade de movimento, temos:
m cdot v + m cdot 0 = m cdot v8' + m cdot v15'
Simplificando:
v = v8' + v15'

Passo 5

Agora, aplicando a conservação da energia cinética:
12 m v^2 + 12 m cdot 0^2 = 12 m v8'^2 + 12 m v15'^2
Simplificando e multiplicando por 2/m:
v^2 = v8'^2 + v15'^2

Passo 6

Temos agora duas equações:
  1. $ v = v_8’ + v_{15}’ $
  2. $ v^2 = v_8’^2 + v_{15}’^2 $
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar $ v_8’ = v - v_{15}’ $ e substituir na segunda:
v = v8' + v15'
Expandindo:
v^2 = v8'^2 + v15'^2
Simplificando:
v8' = v - v15'
Subtraindo $ v^2 $ de ambos os lados:
v^2 = (v - v15')^2 + v15'^2
Dividindo por 2:
v^2 = v^2 - 2v v15' + v15'^2 + v15'^2
Fatorando $ v_{15}’ $:
v^2 = v^2 - 2v v15' + 2 v15'^2
Assim, $ v_{15}’ = 0 $ ou $ v_{15}’ = v $. Como a bola 15 estava parada inicialmente e há uma colisão, a única solução física é $ v_{15}’ = v $.

Passo 7

Substituindo $ v_{15}’ = v $ na primeira equação:
v15' = v
Então:
v = v8' + v

Resposta

Logo após o choque a bola 8 fica em repouso e a bola 15 fica em movimento com velocidade $ v $. A velocidade da bola 15 após o choque possui módulo igual a $ v $.

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