Os rebites de alumínio usados na construção de aviões são feitos com um diâmetro ligeiramente maior que o do buraco e resfriados com “gelo seco” (CO2 sólido) antes de serem colocados nos respectivos buracos. Sabendo que o diâmetro de um buraco é 4,50 mm, qual deve ser o diâmetro de um rebite a 23,0 ºC para que seu diâmetro fique igual ao do buraco quando o rebite for esfriado até -78,0 ºC, a temperatura do gelo seco que será usado? Suponha que o coeficiente de dilatação permaneça constante, no valor de αAl= 2,4 x 10-5 °C-1.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está falando sobre dilatação térmica, que é quando um material muda de tamanho com a temperatura. Aqui, queremos descobrir o diâmetro de um rebite de alumínio a 23,0 ºC, de forma que, ao esfriar até -78,0 ºC com gelo seco, ele fique igual ao diâmetro do buraco, que é 4,50 mm. Para isso, vamos usar a fórmula da dilatação linear e o coeficiente de dilatação do alumínio, que é $ \alpha_{Al} = 2,4 \times 10^{-5} , °C^{-1} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da dilatação linear:
L = L0 times (1 + alpha times De
Onde:
- $ L $ é o comprimento final (ou diâmetro final no nosso caso).
- $ L_0 $ é o comprimento inicial (diâmetro do rebite a 23,0 ºC).
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear.
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura ($ T_{final} - T_{inicial} $).

Passo 3

Aqui, queremos que o diâmetro final do rebite seja igual ao diâmetro do buraco, que é 4,50 mm. Então, $ L = 4,50 , mm $.

Passo 4

Vamos calcular a variação de temperatura:
De

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
4,50 = L0 times (1 + 2,4 times 10^-5 times (-101))

Passo 6

Calculamos o termo dentro do parênteses:
1 + 2,4 times 10^-5 times (-101) = 1 - 0,002424 = 0,997576

Passo 7

Isolamos $ L_0 $ para encontrar o diâmetro inicial do rebite:
L0

Passo 8

Fazendo a divisão:
L0 approx 4,500,997576 approx 4,51 , mm

Resposta

O diâmetro do rebite a 23,0 ºC deve ser aproximadamente 4,51 mm para que, ao ser resfriado até -78,0 ºC, fique igual ao diâmetro do buraco de 4,50 mm.

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