Durante um passeio em seu barco, você navega 2 km para o leste, 4 km para o sudeste e uma distância adicional em uma direção desconhecida. Sua posição final é 6 km diretamente a leste do ponto de partida. Encontre o módulo e a orientação do terceiro trecho de sua viagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um passeio de barco onde você navegou 2 km para o leste, depois 4 km para o sudeste e uma última parte em uma direção que não sabemos. No final, você está 6 km direto para o leste do ponto de partida. Vamos usar vetores e um pouco de trigonometria para descobrir qual foi a distância e a direção do terceiro trecho da viagem.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores. O primeiro trecho é simples: 2 km para o leste. Em coordenadas, isso significa que ele tem uma componente x de 2 km e y de 0 km.
A = (2, 0)

Passo 3

O segundo trecho é 4 km para o sudeste. O sudeste é a direção que está exatamente entre o sul e o leste, ou seja, a 45 graus em relação ao leste. Para dividir esse vetor nas componentes x e y, usamos o cosseno e o seno de 45 graus.
Como o sudeste está para o leste e sul, a componente x será positiva e a y negativa.
B = (4 cdot cos(45°), -4 cdot sin(45°))
Sabendo que B = (4 cdot raiz22, -4 cdot raiz22) = (2raiz2, -2raiz2) , temos:

Passo 4

Agora, somamos os vetores A + B = (2 + 2raiz2, 0 - 2raiz2) = (2 + 2raiz2, -2raiz2) e para encontrar a posição após os dois primeiros trechos.

Passo 5

Vamos chamar o terceiro trecho de A + B + C = (6, 0) . Sabemos que a posição final é 6 km para o leste, então a soma dos três vetores deve ser:
2 + 2raiz2 + Cx = 6 -2raiz2 + Cy = 0
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo as equações para encontrar 2 + 2raiz2 + Cx = 6 e Cx = 6 - 2 - 2raiz2 :
Para Cx = 4 - 2raiz2 :
-2raiz2 + Cy = 0
Cy = 2raiz2
C = (4 - 2raiz2, 2raiz2)
Para :
Então, o vetor é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o módulo (a distância) e a direção desse vetor |C| = raizCx^2 + Cy^2 .
O módulo é dado por:
|C| = raiz(4 - 2raiz2)^2 + (2raiz2)^2
Substituindo os valores:
|C| = raiz(16 - 16raiz2 + 8) + 8
|C| = raiz32 - 16raiz2
|C| approx raiz32 - 22.627
|C| approx raiz9.373
|C| approx 3.06 km

Passo 8

Para achar a direção, vamos calcular o ângulo tan(theta) = CyCx = 2raiz24 - 2raiz2 que tan(theta) = 2raiz24 - 2raiz2 times 4 + 2raiz24 + 2raiz2 = 8raiz2 + 816 - 8 = 8raiz2 + 88 = raiz2 + 1 forma com o leste. Usamos a tangente:
theta = arctan(raiz2 + 1) approx 67.5°
Simplificando:
Calculando o ângulo:
Então, a direção de é aproximadamente 67,5° ao norte do leste.

Resposta

O terceiro trecho da viagem tem um módulo de aproximadamente 3,06 km e está orientado a 67,5° ao norte do leste.

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