Uma granada inicialmente em repouso, explode em 2 fragmentos de massas
e
. Mostre que as energias cinéticas dos fragmentos estão dadas por
onde
é a diferença entre a energia cinética total do sistema depois e antes do explosão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma granada que está parada e explode em dois pedaços com massas
e
. A gente precisa encontrar as energias cinéticas desses fragmentos após a explosão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação do momento linear e energia cinética. Vamos precisar lembrar como o momento se comporta em sistemas isolados e como calcular a energia cinética.
Passo 2
Primeiro, como a granada está inicialmente em repouso, o momento total antes da explosão é zero. Quando ela explode em dois fragmentos, o momento total do sistema ainda deve ser zero (porque não tem força externa agindo). Isso nos dá a condição de que os momentos dos dois fragmentos devem se anular.
Passo 3
Vamos chamar as velocidades dos fragmentos de
e
. A condição de conservação do momento fica assim:
Isso significa que:
Ou seja:
Isso mostra que os fragmentos se movem em direções opostas, o que faz sentido na explosão.
Passo 4
Agora, vamos pensar na energia cinética. A energia cinética total após a explosão é a soma das energias dos dois fragmentos:
Onde
é a diferença entre a energia cinética total após e antes da explosão. Como antes da explosão a granada estava parada, a energia cinética inicial era zero, então
é apenas a energia cinética total após a explosão.
Passo 5
A energia cinética de cada fragmento é dada por:
Queremos expressar
e
em termos de
.
Passo 6
Vamos substituir
da equação do Passo 3 na expressão de
:
Da mesma forma, a energia cinética de
já está em termos de
:
Passo 7
Agora, somamos
e
para igualar a
:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
As energias cinéticas dos fragmentos são: