Uma granada inicialmente em repouso, explode em 2 fragmentos de massas m1 e m2. Mostre que as energias cinéticas dos fragmentos estão dadas por
T1=m2 Qm1+m2, T2=m1 Qm1+m2
onde Q é a diferença entre a energia cinética total do sistema depois e antes do explosão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma granada que está parada e explode em dois pedaços com massas e . A gente precisa encontrar as energias cinéticas desses fragmentos após a explosão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação do momento linear e energia cinética. Vamos precisar lembrar como o momento se comporta em sistemas isolados e como calcular a energia cinética.

Passo 2

Primeiro, como a granada está inicialmente em repouso, o momento total antes da explosão é zero. Quando ela explode em dois fragmentos, o momento total do sistema ainda deve ser zero (porque não tem força externa agindo). Isso nos dá a condição de que os momentos dos dois fragmentos devem se anular.

Passo 3

Vamos chamar as velocidades dos fragmentos de m1 v1 + m2 v2 = 0 e m1 v1 = -m2 v2 . A condição de conservação do momento fica assim:
v1 = -m2m1 v2
Isso significa que:
Ou seja:
Isso mostra que os fragmentos se movem em direções opostas, o que faz sentido na explosão.

Passo 4

Agora, vamos pensar na energia cinética. A energia cinética total após a explosão é a soma das energias dos dois fragmentos:
Q = T1 + T2
Onde é a diferença entre a energia cinética total após e antes da explosão. Como antes da explosão a granada estava parada, a energia cinética inicial era zero, então é apenas a energia cinética total após a explosão.

Passo 5

A energia cinética de cada fragmento é dada por:
T1 = 12 m1 v1^2
T2 = 12 m2 v2^2
Queremos expressar e em termos de .

Passo 6

Vamos substituir T1 = 12 m1 ( -m2m1 v2 )^2 = 12 m1 ( m2^2m1^2 v2^2 ) = m2^22 m1 v2^2 da equação do Passo 3 na expressão de T2 = 12 m2 v2^2 :
Da mesma forma, a energia cinética de já está em termos de :

Passo 7

Agora, somamos Q = T1 + T2 = m2^22 m1 v2^2 + 12 m2 v2^2 = m2^2 + m1 m22 m1 v2^2 = m2 (m1 + m2)2 m1 v2^2 e para igualar a :

Passo 8

Vamos resolver para v2^2 = 2 m1 Qm2 (m1 + m2) :
T2 = 12 m2 ( 2 m1 Qm2 (m1 + m2) ) = m1 Qm1 + m2
Substituindo isso na expressão de :

Passo 9

Agora, substituímos T1 = m2^22 m1 ( 2 m1 Qm2 (m1 + m2) ) = m2 Qm1 + m2 na expressão de :

Resposta

As energias cinéticas dos fragmentos são:
T1 = m2 Qm1 + m2, T2 = m1 Qm1 + m2

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