Durante 6 s um registro libera, com vazão de 240 litros à cada 2 minutos, uma massa fluida sobre um recipiente cilíndrico cuja borda se encontra a 40 cm abaixo da linha de saída do fluido. Pela existência de uma pequena pressão devido ao acúmulo de fluido no registro, o fluido acaba sendo liberado do registro com uma velocidade de 2 mm / s. O diâmetro do recipiente mede 400 mm . Os 6 segundos de vazão completam 3 / 4 da capacidade do recipiente. Determine a velocidade com que a primeira gota de fluido atinge a base do recipiente.
R. (a) 3,21 m / s

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um registro que libera uma quantidade de fluido com uma certa vazão em um recipiente cilíndrico. O recipiente tem uma borda localizada 40 cm abaixo da linha de saída do fluido, e o diâmetro do recipiente é de 400 mm. Durante 6 segundos, o registro libera fluido a uma taxa de 240 litros a cada 2 minutos, o que completa 3/4 da capacidade do recipiente. Além disso, o fluido sai do registro com uma velocidade de 2 , mm/s.
Conteúdo da matéria: Cinemática dos fluidos, velocidade de queda livre.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conversão de unidades.
  • Cálculo da altura total do fluido no recipiente.
  • Uso das equações de movimento para encontrar a velocidade de impacto da primeira gota na base do recipiente.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades do Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Velocidade do fluido: 2 , mm/s = 0,002 , m/s
  • Altura da borda do recipiente: 40 , cm = 0,4 , m
  • Diâmetro do recipiente: 400 , mm = 0,4 , m

Passo 3

Calcularemos a capacidade total do recipiente. Sabemos que durante 6 segundos, é liberada 3/4 da capacidade total. Primeiro, vamos encontrar a vazão:
A vazão é de 240 litros a cada 2 minutos, ou seja, 240 litros / 120 segundos = 2 litros por segundo.
Em 6 segundos, o volume liberado é:
2 , litros/s times 6 , s = 12 , litros
Como isso corresponde a 3/4 da capacidade do recipiente, a capacidade total C é:
C = 12 , litros0,75 = 16 , litros
Convertendo para metros cúbicos:
16 , litros = 0,016 , m^3

Passo 4

Agora, vamos encontrar a altura total do fluido no recipiente quando está completamente cheio.
O volume de um cilindro é dado por:
V = pi r^2 h
Onde:
  • V é o volume,
  • r é o raio,
  • h é a altura.
Sabemos que o diâmetro é 0,4 m, então o raio r é 0,2 m.
Substituindo os valores:
0,016 = pi (0,2)^2 h
Calculando:
0,016 = pi (0,04) h
0,016 = 0,1256 h
h = 0,0160,1256 approx 0,1273 , m

Passo 5

Sabemos que a borda do recipiente está a 0,4 m abaixo da saída do fluido. Portanto, a altura total que a primeira gota precisa percorrer é:
H = h + 0,4 = 0,1273 + 0,4 = 0,5273 , m

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo que a gota leva para percorrer essa altura. Usaremos a equação do movimento uniformemente acelerado, considerando que a única aceleração é a da gravidade ( g = 9,81 , m/s^2):
H = vi t + 12 g t^2
Onde:
  • vi é a velocidade inicial do fluido (0,002 m/s),
  • H é a altura total (0,5273 m).
Substituindo os valores:
0,5273 = 0,002 t + 12 times 9,81 times t^2
Isso simplifica para:
4,905 t^2 + 0,002 t - 0,5273 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática para t:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 4,905,
  • b = 0,002,
  • c = -0,5273.
Calculando o discriminante:
De
Calculando t:
t = -0,002 pm raiz10,3299,81 approx -0,002 pm 3,2139,81
Considerando somente a solução positiva:
t approx 3,2119,81 approx 0,3277 , s

Passo 8

Finalmente, a velocidade com que a primeira gota atinge a base do recipiente é dada pela velocidade final da gota, que pode ser calculada usando:
v = vi + g t
Substituindo os valores:
v = 0,002 + 9,81 times 0,3277 approx 0,002 + 3,211 approx 3,213 , m/s

Resposta

A velocidade com que a primeira gota de fluido atinge a base do recipiente é aproximadamente 3,21 , m/s.

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R. 1,62 m/s