Durante 6 s um registro libera, com vazão de 240 litros à cada 2 minutos, uma massa fluida sobre um recipiente cilíndrico cuja borda se encontra a 40 cm abaixo da linha de saída do fluido. Pela existência de uma pequena pressão devido ao acúmulo de fluido no registro, o fluido acaba sendo liberado do registro com uma velocidade de
. O diâmetro do recipiente mede 400 mm . Os 6 segundos de vazão completam
da capacidade do recipiente. Determine a velocidade com que a primeira gota de fluido atinge a base do recipiente.
R. (a)
R. (a)
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um registro que libera uma quantidade de fluido com uma certa vazão em um recipiente cilíndrico. O recipiente tem uma borda localizada 40 cm abaixo da linha de saída do fluido, e o diâmetro do recipiente é de 400 mm. Durante 6 segundos, o registro libera fluido a uma taxa de 240 litros a cada 2 minutos, o que completa 3/4 da capacidade do recipiente. Além disso, o fluido sai do registro com uma velocidade de
.
Conteúdo da matéria: Cinemática dos fluidos, velocidade de queda livre.
O que vamos precisar para resolver:
- Conversão de unidades.
- Cálculo da altura total do fluido no recipiente.
- Uso das equações de movimento para encontrar a velocidade de impacto da primeira gota na base do recipiente.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades do Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Velocidade do fluido:
- Altura da borda do recipiente:
- Diâmetro do recipiente:
Passo 3
Calcularemos a capacidade total do recipiente. Sabemos que durante 6 segundos, é liberada 3/4 da capacidade total. Primeiro, vamos encontrar a vazão:
A vazão é de 240 litros a cada 2 minutos, ou seja, 240 litros / 120 segundos = 2 litros por segundo.
Em 6 segundos, o volume liberado é:
Como isso corresponde a 3/4 da capacidade do recipiente, a capacidade total
é:
Convertendo para metros cúbicos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a altura total do fluido no recipiente quando está completamente cheio.
O volume de um cilindro é dado por:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio, -
é a altura.
Sabemos que o diâmetro é 0,4 m, então o raio
é 0,2 m.
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 5
Sabemos que a borda do recipiente está a 0,4 m abaixo da saída do fluido. Portanto, a altura total que a primeira gota precisa percorrer é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o tempo que a gota leva para percorrer essa altura. Usaremos a equação do movimento uniformemente acelerado, considerando que a única aceleração é a da gravidade (
):
Onde:
-
é a velocidade inicial do fluido (0,002 m/s), -
é a altura total (0,5273 m).
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática para
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde:
-
, -
, -
.
Calculando o discriminante:
Calculando
:
Considerando somente a solução positiva:
Passo 8
Finalmente, a velocidade com que a primeira gota atinge a base do recipiente é dada pela velocidade final da gota, que pode ser calculada usando:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade com que a primeira gota de fluido atinge a base do recipiente é aproximadamente
.
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e
. Mostre que as energias cinéticas dos fragmentos estão dadas por
onde
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. O diâmetro do recipiente mede 400 mm . Os 6 segundos de vazão completam
da capacidade do recipiente. Determine o tempo total, desde a abertura do registro, para que o recipiente esteja cheio.
R. (b) 8 s .
R. (b) 8 s .
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R. 1,62 m/s
R. 1,62 m/s