Durante um projeto, o professor observa que a probabilidade de um aluno cumprir todas as etapas no prazo é de 0,75 . Se há 12 alunos no projeto, qual a probabilidade de que pelo menos 9 deles cumpram todas as etapas no prazo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a probabilidade de, em um projeto com 12 alunos, pelo menos 9 deles cumprirem todas as etapas no prazo. Isso envolve conceitos de Probabilidade Binomial, que ajuda a determinar a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, sabendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros importantes:
- n = 12 (número de alunos)
- p = 0,75 (probabilidade de um aluno cumprir todas as etapas no prazo)
- Queremos a probabilidade de k ≥ 9 alunos cumprirem as etapas.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. -
é a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos. -
é a probabilidade dos restantes (n - k) não serem sucessos.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de pelo menos 9 alunos cumprirem as etapas, vamos somar as probabilidades de exatamente 9, 10, 11 e 12 alunos cumprirem:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- Para k = 9:
- Para k = 10:
- Para k = 11:
- Para k = 12:
Passo 6
Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade de pelo menos 9 alunos cumprirem as etapas:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 9 dos 12 alunos cumpram todas as etapas no prazo é aproximadamente 64,95%.