Durante um projeto, o professor observa que a probabilidade de um aluno cumprir todas as etapas no prazo é de 0,75 . Se há 12 alunos no projeto, qual a probabilidade de que pelo menos 9 deles cumpram todas as etapas no prazo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a probabilidade de, em um projeto com 12 alunos, pelo menos 9 deles cumprirem todas as etapas no prazo. Isso envolve conceitos de Probabilidade Binomial, que ajuda a determinar a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, sabendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros importantes:
  • n = 12 (número de alunos)
  • p = 0,75 (probabilidade de um aluno cumprir todas as etapas no prazo)
  • Queremos a probabilidade de k ≥ 9 alunos cumprirem as etapas.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos.
  • é a probabilidade dos restantes (n - k) não serem sucessos.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de pelo menos 9 alunos cumprirem as etapas, vamos somar as probabilidades de exatamente 9, 10, 11 e 12 alunos cumprirem:
P(X >= 9) = P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12)

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para k = 9:
P(X=9) = binom129 times 0,75^9 times 0,25^3
P(X=9) = 220 times 0,075084 times 0,015625
P(X=9) approx 0,2588
  1. Para k = 10:
P(X=10) = binom1210 times 0,75^10 times 0,25^2
P(X=10) = 66 times 0,0563135 times 0,0625
P(X=10) approx 0,2323
  1. Para k = 11:
P(X=11) = binom1211 times 0,75^11 times 0,25^1
P(X=11) = 12 times 0,042235 times 0,25
P(X=11) approx 0,1267
  1. Para k = 12:
P(X=12) = binom1212 times 0,75^12 times 0,25^0
P(X=12) = 1 times 0,031676 times 1
P(X=12) approx 0,0317

Passo 6

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade de pelo menos 9 alunos cumprirem as etapas:
P(X >= 9) = 0,2588 + 0,2323 + 0,1267 + 0,0317
P(X >= 9) approx 0,6495

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 9 dos 12 alunos cumpram todas as etapas no prazo é aproximadamente 64,95%.

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