(2,0) Durante o tempo que permanecer na universidade, um estudante da UESC deverá receber, em reais, uma bolsa que obedece à sequência a_n = 20000 / (n^2 + n), onde n corresponde ao número da parcela a ser recebida. Se o estudante permanecer indefinidamente na universidade, qual será o montante recebido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o total que um estudante vai receber de bolsa na universidade, seguindo a sequência , onde é o número da parcela. A matéria que vamos usar aqui é Séries e Sequências, e vamos precisar entender um pouco sobre somatórios e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fórmula da parcela: . O objetivo é somar todas essas parcelas infinitamente, já que o estudante vai permanecer indefinidamente na universidade. Então, queremos encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos simplificar a fração no . Observe que pode ser fatorado como . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar frações parciais para decompor . Procuramos constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Vamos resolver para e . Se :
Se :
Então, temos:
Multiplicando tudo por 20000:

Passo 5

Agora, somamos todas as parcelas de 1 até o infinito:
Isso é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancela. Vamos ver como:
Todo termo intermediário vai se cancelando, restando apenas o primeiro termo:

Resposta

O montante total recebido será de R$ 20.000,00.

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