(2,0) Durante o tempo que permanecer na universidade, um estudante da UESC deverá receber, em reais, uma bolsa que obedece à sequência
, onde
corresponde ao número da parcela a ser recebida. Se o estudante permanecer indefinidamente na universidade, qual será o montante recebido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o total que um estudante vai receber de bolsa na universidade, seguindo a sequência
, onde
é o número da parcela. A matéria que vamos usar aqui é Séries e Sequências, e vamos precisar entender um pouco sobre somatórios e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a fórmula da parcela:
. O objetivo é somar todas essas parcelas infinitamente, já que o estudante vai permanecer indefinidamente na universidade. Então, queremos encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos simplificar a fração no
. Observe que
pode ser fatorado como
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar frações parciais para decompor
. Procuramos constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Vamos resolver para
e
. Se
:
Se
:
Então, temos:
Multiplicando tudo por 20000:
Passo 5
Agora, somamos todas as parcelas de 1 até o infinito:
Isso é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancela. Vamos ver como:
Todo termo intermediário vai se cancelando, restando apenas o primeiro termo:
Resposta
O montante total recebido será de R$ 20.000,00.