Resolva os limites a seguir:
lim x pi / 4 sen 2 x-cos 2 x-1cos x-sen x
R.: -raiz2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar identidades trigonométricas e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sen (2 cdot pi4) - cos (2 cdot pi4) - 1 = sen (pi2) - cos (pi2) - 1 = 1 - 0 - 1 = 0 diretamente na expressão para verificar se obtemos uma forma indeterminada:
No denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada cos (pi4) - sen (pi4) = raiz22 - raiz22 = 0 . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ( sen 2x - cos 2x - 1 ) = 2cos 2x + 2sen 2x .
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Vamos substituir 2cos (2 cdot pi4) + 2sen (2 cdot pi4) = 2cos (pi2) + 2sen (pi2) = 2 cdot 0 + 2 cdot 1 = 2 na nova expressão:
Para o numerador:
Para o denominador:

Resposta

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