Durante testes de um volante do motor de carro com 0,36 m de diâmetro, os engenheiros observam que a função da posição angular é dada por theta=(2,0 t^3) rad. Eles realizam cálculos para um intervalo de tempo de 3,0 s, entre os instantes t1=2,0 s e t2=5,0 s. (e) Calcule omega e alpha instantâneas para t=3,0 s. Compare com o resultado obtido em (d).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional! O enunciado fala sobre um volante de carro com diâmetro de 0,36 m e a posição angular dele está descrita pela função theta = 2,0 , t^3 , rad. Precisamos calcular a velocidade angular ( omega) e a aceleração angular ( alpha) instantâneas quando o tempo t é igual a 3,0 s. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação como a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ( omega) é a taxa de variação da posição angular ( theta) em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela primeira derivada de theta em relação a t:
omega = dthetadt

Passo 3

Já a aceleração angular ( alpha) é a taxa de variação da velocidade angular ( omega) em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição angular em relação a t:
alpha = domegadt = d^2thetadt^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade angular. Dada a função theta = 2,0 , t^3, vamos derivar em relação a t:
omega = dthetadt = ddt(2,0 , t^3) = 2,0 times 3 , t^2 = 6,0 , t^2 , rad/s

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a aceleração angular, que é a derivada da velocidade angular:
alpha = domegadt = ddt(6,0 , t^2) = 6,0 times 2 , t = 12,0 , t , rad/s^2

Passo 6

Agora, vamos substituir t = 3,0 s nas expressões que encontramos para omega e alpha:
Para a velocidade angular:
omega = 6,0 , (3,0)^2 = 6,0 times 9,0 = 54,0 , rad/s
Para a aceleração angular:
alpha = 12,0 times 3,0 = 36,0 , rad/s^2

Resposta

Quando t = 3,0 s, a velocidade angular instantânea é omega = 54,0 , rad/s e a aceleração angular instantânea é alpha = 36,0 , rad/s^2.

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