Durante testes de um volante do motor de carro com
de diâmetro, os engenheiros observam que a função da posição angular é dada por
. Eles realizam cálculos para um intervalo de tempo de
, entre os instantes
e
. (e) Calcule
e
instantâneas para
. Compare com o resultado obtido em (d).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional! O enunciado fala sobre um volante de carro com diâmetro de
e a posição angular dele está descrita pela função
. Precisamos calcular a velocidade angular (
) e a aceleração angular (
) instantâneas quando o tempo
é igual a
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação como a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular (
) é a taxa de variação da posição angular (
) em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela primeira derivada de
em relação a
:
Passo 3
Já a aceleração angular (
) é a taxa de variação da velocidade angular (
) em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição angular em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade angular. Dada a função
, vamos derivar em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a aceleração angular, que é a derivada da velocidade angular:
Passo 6
Agora, vamos substituir
nas expressões que encontramos para
e
:
Para a velocidade angular:
Para a aceleração angular:
Resposta
Quando
, a velocidade angular instantânea é
e a aceleração angular instantânea é
.