Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t^3 - 10,5 t^2 + 30 t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a velocidade média dos veículos em um cruzamento entre 13 e 18 horas. A função é km/h, onde representa o número de horas após o meio-dia. Nosso objetivo é encontrar em que instante, dentro desse intervalo de tempo, o trânsito é mais rápido e em que instante é mais lento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que representa a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso nos ajudará a identificar onde a velocidade está aumentando ou diminuindo.
A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, para encontrar os instantes em que a velocidade é máxima ou mínima, precisamos resolver a equação :
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Agora, temos dois valores de : 2 e 5. Precisamos verificar se cada um desses pontos corresponde a um máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos em e :
  • Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo.
  • Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo.

Passo 5

Agora que identificamos os valores de correspondentes aos pontos de máximo e mínimo, precisamos convertê-los para horários.
  • : Como é o número de horas após o meio-dia, corresponde a 14 horas (ou 2 da tarde).
  • : Isso corresponde a 17 horas (ou 5 da tarde).

Resposta

O trânsito é mais rápido às 14 horas e mais lento às 17 horas.

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