Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por
, onde
é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a velocidade média dos veículos em um cruzamento entre 13 e 18 horas. A função é
km/h, onde
representa o número de horas após o meio-dia. Nosso objetivo é encontrar em que instante, dentro desse intervalo de tempo, o trânsito é mais rápido e em que instante é mais lento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, que representa a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso nos ajudará a identificar onde a velocidade está aumentando ou diminuindo.
A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, para encontrar os instantes em que a velocidade é máxima ou mínima, precisamos resolver a equação
:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Agora, temos dois valores de
: 2 e 5. Precisamos verificar se cada um desses pontos corresponde a um máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
em
e
:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo.
Passo 5
Agora que identificamos os valores de
correspondentes aos pontos de máximo e mínimo, precisamos convertê-los para horários.
-
: Como é o número de horas após o meio-dia, corresponde a 14 horas (ou 2 da tarde). -
: Isso corresponde a 17 horas (ou 5 da tarde).
Resposta
O trânsito é mais rápido às 14 horas e mais lento às 17 horas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas:
§
§
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto
.
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(m)
(m)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
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