Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação da reta tangente à função
no ponto onde
. Pra resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Isso vai nos dar o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar a função.
Calculando:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A função é:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Com a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma mais conhecida
:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
E sboce o gráfico da função
e determine a equação da reta tangente no ponto
.
Determine a equação da reta tangente à função
, no ponto
.
Calcule as integrais definidas:
§
§
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por
, onde
é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?