Calcule as integrais definidas:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida
. Aqui estamos lidando com integrais definidas e valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores absolutos funcionam e dividir a integral em intervalos onde as expressões dentro dos valores absolutos não mudam de sinal. Isso facilita a nossa vida na hora de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as expressões dentro dos valores absolutos, ou seja,
e
, mudam de sinal. Isso acontece quando cada expressão é igual a zero.
Para
:
Para
:
Então, os pontos onde as expressões mudam de sinal são
e
. Vamos usar esses pontos para dividir o intervalo de
a
em três partes:
- De
a - De
a - De
a
Passo 3
Agora, para cada intervalo, vamos determinar o valor das expressões dentro dos valores absolutos sem o símbolo de valor absoluto, ou seja, ajustando os sinais conforme necessário.
Intervalo de
a
:
-
é negativo, então -
é negativo (porque ), então
Intervalo de
a
:
-
é positivo, então -
ainda é negativo (por exemplo, em , ), então
Intervalo de
a
:
-
é positivo, então -
agora é positivo (por exemplo, em , ), então
Passo 4
Com essas informações, podemos reescrever a integral original como a soma de três integrais, uma para cada intervalo:
Vamos simplificar cada parte:
- De
a :
- De
a :
- De
a :
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
- Integral de
a de :
Calculando nos limites:
- Integral de
a de :
Calculando nos limites:
- Integral de
a de :
Calculando nos limites:
Resposta
Somando as três partes:
Então, o valor da integral definida
é 8,5.
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, no ponto
.
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.
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, onde
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(m)
(m)