Calcule as integrais definidas:
§ integral-1^4|2 x-6|-|x| d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida . Aqui estamos lidando com integrais definidas e valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores absolutos funcionam e dividir a integral em intervalos onde as expressões dentro dos valores absolutos não mudam de sinal. Isso facilita a nossa vida na hora de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as expressões dentro dos valores absolutos, ou seja, 2x - 6 = 0 implies 2x = 6 implies x = 3 e x = 0 , mudam de sinal. Isso acontece quando cada expressão é igual a zero.
Para :
Para :
Então, os pontos onde as expressões mudam de sinal são e . Vamos usar esses pontos para dividir o intervalo de a em três partes:
  1. De a
  2. De a
  3. De a

Passo 3

Agora, para cada intervalo, vamos determinar o valor das expressões dentro dos valores absolutos sem o símbolo de valor absoluto, ou seja, ajustando os sinais conforme necessário.
Intervalo de a :
  • é negativo, então
  • é negativo (porque ), então
Intervalo de a :
  • é positivo, então
  • ainda é negativo (por exemplo, em , ), então
Intervalo de a :
  • é positivo, então
  • agora é positivo (por exemplo, em , ), então

Passo 4

Com essas informações, podemos reescrever a integral original como a soma de três integrais, uma para cada intervalo:
integral-1^4 |2x - 6| - |x| , dx = integral-1^0 (6 - 2x) - (-x) , dx + integral0^3 (6 - 2x) - x , dx + integral3^4 (2x - 6) - x , dx
Vamos simplificar cada parte:
  1. De (6 - 2x) - (-x) = 6 - 2x + x = 6 - x a (6 - 2x) - x = 6 - 3x :
(2x - 6) - x = x - 6
  1. De a :
  1. De a :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de integral-1^0 (6 - x) , dx = [6x - x^22]-1^0 a = (6*0 - 0^22) - (6*(-1) - (-1)^22) = 0 - (-6 - 0.5) = 6.5 de integral0^3 (6 - 3x) , dx = [6x - 3x^22]0^3 :
= (6*3 - 3*3^22) - (6*0 - 3*0^22) = (18 - 13.5) - 0 = 4.5
Calculando nos limites:
integral3^4 (x - 6) , dx = [x^22 - 6x]3^4
  1. Integral de = (4^22 - 6*4) - (3^22 - 6*3) = (8 - 24) - (4.5 - 18) = (-16) - (-13.5) = -2.5 a de :
Calculando nos limites:
  1. Integral de a de :
Calculando nos limites:

Resposta

Somando as três partes:
6.5 + 4.5 - 2.5 = 8.5
Então, o valor da integral definida é 8,5.

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