In a meat processing plant, 2-cm-thick steaks (k=0,45 W / m ^circ C and alpha=0,91 times 10^-7 m^2 / s ) that are initially at 25^circ C are to be cooled by passing them through a refrigeration room at -11^circ C. The heat transfer coefficient on both sides of the steaks is 9 W / m^2 ^circ C. If both surfaces of the steaks are to be cooled to 2^circ C, determine how long the steaks should be kept in the refrigeration room.
T(L, t)-TinftyTi-Tinfty & =A1 e^-Lambda1^2 F o cos (Lambda1 LL) kappa1 & =0,4328 A1 & =1,0311

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos bifes com 2 cm de espessura que estão inicialmente a 25°C e precisam ser resfriados até 2°C em uma sala de refrigeração que está a -11°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica e coeficiente de transferência de calor. Precisamos calcular quanto tempo os bifes devem ficar na sala de refrigeração para atingir a temperatura desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Espessura dos bifes (2 cm): Convertendo para metros, temos m.
  • Temperatura inicial dos bifes: .
  • Temperatura da sala de refrigeração: .
  • Temperatura final desejada nos bifes: .
  • Coeficiente de transferência de calor (ambos os lados): .
  • Condutividade térmica: .
  • Difusividade térmica: .
Esses valores vão nos ajudar a aplicar a equação de resfriamento para determinar o tempo necessário.

Passo 3

Vamos usar a equação fornecida para resolver o problema:
T(L, t)-TinftyTi-Tinfty = A1 e^-Lambda1^2 cdot Fo cos (Lambda1 LL)
Aqui, Fo = alpha tL^2 é o número de Fourier, que relaciona a difusividade térmica ( ) com o tempo ( ) e a distância ( ):
Neste caso, precisamos isolar o tempo ( ) na equação para encontrar quanto tempo os bifes devem ficar na sala de refrigeração.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver para 2 - (-11)25 - (-11) = 1,0311 cdot e^-0,4328 cdot Fo cos(0,4328 cdot 0,020,02) .
Primeiro, substituímos os valores conhecidos na equação:
1336 = 1,0311 cdot e^-0,4328 cdot Fo cos(0,4328)
Simplificando:
cos(0,4328) approx 0,9085
Calculamos 1336 = 1,0311 cdot 0,9085 cdot e^-0,4328 cdot Fo :
1336 approx 0,935 cdot e^-0,4328 cdot Fo
Então:
e^-0,4328 cdot Fo = 1336 cdot 0,935 approx 1333,66 approx 0,386
Multiplicando os números:
-0,4328 cdot Fo = ln(0,386) approx -0,952
Agora, isolamos Fo = 0,9520,4328 approx 2,198 :
Fo = alpha tL^2 implies t = Fo cdot L^2alpha
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
t = 2,198 cdot (0,02)^20,91 times 10^-7 = 2,198 cdot 0,00040,91 times 10^-7 approx 0,00087920,91 times 10^-7 approx 9661 , segundos
Dividindo por -0,4328:
9661 , segundos div 3600 approx 2,68 , horas
Agora, usamos a definição do número de Fourier para encontrar :
Substituindo os valores:
Convertendo para horas:

Resposta

Os bifes devem permanecer na sala de refrigeração por aproximadamente 2,68 horas para atingir a temperatura de 2°C.

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