O escoamento de um fluido incompressível em coordenadas retangulares é dado pelos componentes de velocidade: vx = x3y e vy = 2yx2, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre o escoamento de um fluido incompressível nas coordenadas retangulares, onde as componentes de velocidade são dadas por
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre incompressibilidade e divergência do campo de velocidade. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência desse campo de velocidade para verificar se o fluxo é realmente incompressível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo de velocidade nos diz se o fluido está se expandindo ou contraindo em um ponto. Para um fluido ser incompressível, a divergência deve ser igual a zero em todos os pontos. A fórmula da divergência em coordenadas retangulares é:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
-
Derivada de
em relação a : Aqui, tratamoscomo constante quando derivamos em relação a . -
Derivada de
em relação a : Aqui, tratamoscomo constante quando derivamos em relação a .
Passo 4
Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:
Resposta
A divergência do campo de velocidade é
. Como a divergência não é zero para todos os valores de
e
, concluímos que o fluxo não é incompressível em geral.