O escoamento de um fluido incompressível em coordenadas retangulares é dado pelos componentes de velocidade: vx = x3y e vy = 2yx2, onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre o escoamento de um fluido incompressível nas coordenadas retangulares, onde as componentes de velocidade são dadas por e . O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre incompressibilidade e divergência do campo de velocidade. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência desse campo de velocidade para verificar se o fluxo é realmente incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo de velocidade nos diz se o fluido está se expandindo ou contraindo em um ponto. Para um fluido ser incompressível, a divergência deve ser igual a zero em todos os pontos. A fórmula da divergência em coordenadas retangulares é:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada de vx = x^3 y partial vxpartial x = partialpartial x(x^3 y) = 3x^2 y em relação a vy = 2 y x^2 partial vypartial y = partialpartial y(2 y x^2) = 2x^2 :
    Aqui, tratamos como constante quando derivamos em relação a .
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui, tratamos como constante quando derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot v = 3x^2 y + 2x^2 = x^2 (3y + 2)

Resposta

A divergência do campo de velocidade é . Como a divergência não é zero para todos os valores de e , concluímos que o fluxo não é incompressível em geral.

Exercícios relacionados