O escoamento de um fluido incompressível em coordenadas retangulares é dado pelos componentes de velocidade: vx = x3y e vy = 2yx2, onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre o escoamento de um fluido incompressível nas coordenadas retangulares, onde as componentes de velocidade são dadas por e . O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre incompressibilidade e divergência do campo de velocidade. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência desse campo de velocidade para verificar se o fluxo é realmente incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo de velocidade nos diz se o fluido está se expandindo ou contraindo em um ponto. Para um fluido ser incompressível, a divergência deve ser igual a zero em todos os pontos. A fórmula da divergência em coordenadas retangulares é:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada de em relação a :
    Aqui, tratamos como constante quando derivamos em relação a .
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui, tratamos como constante quando derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:

Resposta

A divergência do campo de velocidade é . Como a divergência não é zero para todos os valores de e , concluímos que o fluxo não é incompressível em geral.

Exercícios relacionados

Em um duto cilíndrico escoa um fluido com velocidade . Ocorre neste movimento do fluido a variação de sua massa específica somente com o tempo
Uma película de polímero de silicone cobre uma superfície plana não-porosa e inerte. O filme de polímero é exposto a gasoso estagnado, mantido a 1,5 atm. O oxigênio gasoso é moderadamente solúvel na película de polímero de silicone, com a relação de solubilidade dado por:
Onde: de silicone atm a 298 K .
Inicialmente, há uniformemente dissolvido na película. O coeficiente de difusão de no silicone é a 298 K. Em um determinado tempo, a concentração de a 4 mm da superficie da película é de . Qual tempo necessário para isto ocorra? Resp.: 2,89 x .
In a meat processing plant, -thick steaks and ) that are initially at are to be cooled by passing them through a refrigeration room at . The heat transfer coefficient on both sides of the steaks is . If both surfaces of the steaks are to be cooled to , determine how long the steaks should be kept in the refrigeration room.
Uma tubulação transporta de água. A tubulação se bifurca em uma tubulação de 5 cm de diâmetro e outra de 7 cm de diâmetro. Se a velocidade média na tubulação com menor diâmetro é de , calcular a velocidade na tubulação de maior diâmetro. Resp. .