O Edison Electric Institute publicou os números referentes ao consumo anual de energia elétrica em quilowatts-hora, de vários eletrodomésticos. Afirmou-se que o aspirador de pó gasta em média de 46 quilowatts-hora por ano. Se uma amostra aleatória de 12 casas incluídas em um estudo planejado indica que os aspiradores de pó gastam uma média de 42 quilowatts-hora anualmente, com desvio-padrão de 11,9 quilowatts-hora, isso sugere, num nível de significância de 0,05 , que os aspiradores de pó gastam em média, menos de 46 quilowatts-hora por ano? Assuma que a população de quilowatts-hora seja normal, ( R. Tcalc =-1,16)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o consumo médio de energia elétrica de aspiradores de pó. A ideia é verificar se, com base numa amostra, os aspiradores realmente consomem menos de 46 quilowatts-hora por ano, como foi afirmado pela Edison Electric Institute. Vamos precisar usar estatística, mais especificamente o teste t para uma média, já que a amostra é pequena (12 casas) e a população é normalmente distribuída.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses para o nosso teste. A gente quer verificar se o consumo médio é menor que 46 kWh. Então:
  • Hipótese Nula (H₀): O consumo médio é igual a 46 kWh por ano.
    H0: mu = 46 , kWh
  • Hipótese Alternativa (H₁): O consumo médio é menor que 46 kWh por ano.
    H1: mu < 46 , kWh

Passo 3

Agora, vamos escolher o teste estatístico adequado. Como temos uma amostra pequena (n = 12) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student para uma média.

Passo 4

Vamos calcular o valor da estatística do teste t. A fórmula é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • t = 42 - 4611,9 / raiz12 = -411,9 / 3,464 approx -43,44 approx -1,16 é a média da amostra (42 kWh)
  • é a média hipotética (46 kWh)
  • é o desvio padrão da amostra (11,9 kWh)
  • é o tamanho da amostra (12)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 0,05 em um teste unilateral (à esquerda). Com 11 graus de liberdade (n - 1 = 12 - 1 = 11), consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -1,796.

Passo 6

Comparamos a estatística do teste t calculada (-1,16) com o valor crítico (-1,796):
  • Se , rejeitamos H₀.
  • Se , não rejeitamos H₀.
Como -1,16 é maior que -1,796, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Isso significa que, com base na amostra que analisamos, não há evidências suficientes para afirmar que os aspiradores de pó consomem, em média, menos de 46 quilowatts-hora por ano no nível de significância de 5%.

Resposta

Portanto, não há evidências suficientes para concluir que os aspiradores de pó consomem, em média, menos de 46 quilowatts-hora por ano com um nível de significância de 0,05.

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