O editor de resenhas para determinado periódico científico decide se a resenha para qualquer livro em particular deve ser curta ( 1-2 páginas), média ( 3-4 páginas) ou longa (5-6 páginas). Dados de resenhas recentes indicam que 60 % delas são curtas, 30 % são médias e 10 % são longas. As resenhas são feitas no Word ou no Latex. Setenta por cento das resenhas curtas, 40 % das resenhas médias e 20 % das resenhas longas são feitas no Latex. Suponha que uma resenha recente seja selecionada aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex?
(b) Se a resenha selecionada tiver sido apresentada no formato Latex, quais são as probabilidades a posteriori de ela ser curta, média ou longa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resenhas de livros em um periódico científico. Essas resenhas podem ser curtas, médias ou longas, com probabilidades de 60%, 30% e 10% respectivamente. Além disso, as resenhas podem ser feitas no Word ou no Latex, com diferentes probabilidades dependendo do tipo de resenha. Vamos usar conceitos de probabilidade total e Bayes para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Parte (a): Queremos saber qual é a probabilidade de uma resenha selecionada aleatoriamente ter sido feita no formato Latex.
Para isso, usamos a probabilidade total, que considera todas as maneiras pelas quais um evento pode acontecer. A fórmula é:
P(Latex) = P(Latex|Curta) times P(Curta) + P(Latex|Média) times P(Média) + P(Latex|Longa) times P(Longa) éé
Substituindo os valores:
P(Latex) = 0,7 times 0,6 + 0,4 times 0,3 + 0,2 times 0,1
P(Latex) = 0,42 + 0,12 + 0,02 = 0,56

Passo 3

Parte (b): Agora, queremos saber, dado que a resenha foi feita no Latex, quais são as probabilidades dela ser curta, média ou longa. Aqui, usamos o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais inversas.
A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(Tipo|Latex) = P(Latex|Tipo) times P(Tipo)P(Latex)
Vamos calcular para cada tipo de resenha:
  1. Resenha Curta:
P(Curta|Latex) = 0,7 times 0,60,56 = 0,420,56 = 0,75 ou 75%
  1. Resenha Média:
P(Média|Latex) = 0,4 times 0,30,56 = 0,120,56 approx 0,2143 ou 21,43% é
  1. Resenha Longa:
P(Longa|Latex) = 0,2 times 0,10,56 = 0,020,56 approx 0,0357 ou 3,57%

Resposta

(a) A probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex é de 56%.
(b) Se a resenha foi apresentada no formato Latex, as probabilidades a posteriori são:
  • 75% de ser curta,
  • 21,43% de ser média, e
  • 3,57% de ser longa.

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