Um número é escolhido ao acaso no conjunto
. Verificar se são independentes os eventos:
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
R. (a) independentes (b) dependentes
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
R. (a) independentes (b) dependentes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de números de 1 a 20 e queremos verificar se certos eventos são independentes. O conteúdo aqui é sobre probabilidade de eventos independentes. Para resolver, vamos precisar calcular as probabilidades dos eventos individualmente e a probabilidade de ambos ocorrerem juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o conjunto de números:
. O total de elementos nesse conjunto é 20.
Passo 3
Vamos analisar o item (a):
- Evento A: o número é múltiplo de 3.
- Evento B: o número é par.
Para verificar a independência, precisamos calcular:
-
: Probabilidade de A ocorrer. -
: Probabilidade de B ocorrer. -
: Probabilidade de ambos A e B ocorrerem.
Passo 4
Calculando
:
Os múltiplos de 3 no conjunto são: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Então, .
Os múltiplos de 3 no conjunto são: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Então,
Passo 5
Calculando
:
Os números pares no conjunto são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Então, .
Os números pares no conjunto são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Então,
Passo 6
Calculando
:
Os números que são múltiplos de 3 e pares são: 6, 12, 18.
Então, .
Os números que são múltiplos de 3 e pares são: 6, 12, 18.
Então,
Passo 7
Agora, vamos verificar a condição de independência:
Dois eventos A e B são independentes se .
Dois eventos A e B são independentes se
Calculando
.
Como
é igual a
, os eventos A e B são independentes.
Passo 8
Agora, vamos analisar o item (b):
- Evento C: o número é primo.
- Evento D: o número é ímpar.
De maneira semelhante, vamos calcular:
-
: Probabilidade de C ocorrer. -
: Probabilidade de D ocorrer. -
: Probabilidade de ambos C e D ocorrerem.
Passo 9
Calculando
:
Os números primos no conjunto são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então, .
Os números primos no conjunto são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então,
Passo 10
Calculando
:
Os números ímpares no conjunto são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Então, .
Os números ímpares no conjunto são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Então,
Passo 11
Calculando
:
Os números que são primos e ímpares são: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então, .
Os números que são primos e ímpares são: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então,
Passo 12
Verificando a condição de independência:
Calculando .
Calculando
Como
é diferente de
, os eventos C e D são dependentes.
Resposta
(a) Os eventos A e B são independentes.
(b) Os eventos C e D são dependentes.
Exercícios relacionados
Se
. Calcule
.
R.
R.
O editor de resenhas para determinado periódico científico decide se a resenha para qualquer livro em particular deve ser curta (
páginas), média (
páginas) ou longa (5-6 páginas). Dados de resenhas recentes indicam que
delas são curtas,
são médias e
são longas. As resenhas são feitas no Word ou no Latex. Setenta por cento das resenhas curtas,
das resenhas médias e
das resenhas longas são feitas no Latex. Suponha que uma resenha recente seja selecionada aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex?
(b) Se a resenha selecionada tiver sido apresentada no formato Latex, quais são as probabilidades a posteriori de ela ser curta, média ou longa?
(a) Qual é a probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex?
(b) Se a resenha selecionada tiver sido apresentada no formato Latex, quais são as probabilidades a posteriori de ela ser curta, média ou longa?
Obtenha a distribuição de
quando
e
. Depois calcule
e
.
Tem-se duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional
. Para ajudar a escolher o melhor, simulou-se uma situação onde
. Dessa população retiraram-se 1.000 amostras de dez unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fórmulas às dez unidades de cada amostra. Desse modo obtêm-se 1.000 valores para a primeira fórmula
e outros 1.000 valores para a segunda fórmula
, cujos estudos descritivos estão resumidos abaixo. Qual das duas fórmulas você acha mais conveniente para estimar
. Por quê?
Fórmula 1 | Fórmula 2 |
|
|
|
Var
|
Mediana
|
Mediana
|
Moda
|
Moda
|