Um número é escolhido ao acaso no conjunto 1,2,3, ldots, 19,20. Verificar se são independentes os eventos:
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
R. (a) independentes (b) dependentes

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de números de 1 a 20 e queremos verificar se certos eventos são independentes. O conteúdo aqui é sobre probabilidade de eventos independentes. Para resolver, vamos precisar calcular as probabilidades dos eventos individualmente e a probabilidade de ambos ocorrerem juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o conjunto de números: . O total de elementos nesse conjunto é 20.

Passo 3

Vamos analisar o item (a):
  • Evento A: o número é múltiplo de 3.
  • Evento B: o número é par.
Para verificar a independência, precisamos calcular:
  1. : Probabilidade de A ocorrer.
  2. : Probabilidade de B ocorrer.
  3. : Probabilidade de ambos A e B ocorrerem.

Passo 4

Calculando :
Os múltiplos de 3 no conjunto são: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Então, .

Passo 5

Calculando :
Os números pares no conjunto são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Então, .

Passo 6

Calculando :
Os números que são múltiplos de 3 e pares são: 6, 12, 18.
Então, .

Passo 7

Agora, vamos verificar a condição de independência:
Dois eventos A e B são independentes se .
Calculando .
Como é igual a , os eventos A e B são independentes.

Passo 8

Agora, vamos analisar o item (b):
  • Evento C: o número é primo.
  • Evento D: o número é ímpar.
De maneira semelhante, vamos calcular:
  1. : Probabilidade de C ocorrer.
  2. : Probabilidade de D ocorrer.
  3. : Probabilidade de ambos C e D ocorrerem.

Passo 9

Calculando :
Os números primos no conjunto são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então, .

Passo 10

Calculando :
Os números ímpares no conjunto são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Então, .

Passo 11

Calculando :
Os números que são primos e ímpares são: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então, .

Passo 12

Verificando a condição de independência:
Calculando .
Como é diferente de , os eventos C e D são dependentes.

Resposta

(a) Os eventos A e B são independentes.
(b) Os eventos C e D são dependentes.

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