Um número é escolhido ao acaso no conjunto
. Verificar se são independentes os eventos:
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
R. (a) independentes (b) dependentes
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
R. (a) independentes (b) dependentes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de números de 1 a 20 e queremos verificar se certos eventos são independentes. O conteúdo aqui é sobre probabilidade de eventos independentes. Para resolver, vamos precisar calcular as probabilidades dos eventos individualmente e a probabilidade de ambos ocorrerem juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o conjunto de números:
. O total de elementos nesse conjunto é 20.
Passo 3
Vamos analisar o item (a):
- Evento A: o número é múltiplo de 3.
- Evento B: o número é par.
Para verificar a independência, precisamos calcular:
-
: Probabilidade de A ocorrer. -
: Probabilidade de B ocorrer. -
: Probabilidade de ambos A e B ocorrerem.
Passo 4
Calculando
:
Os múltiplos de 3 no conjunto são: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Então, .
Os múltiplos de 3 no conjunto são: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Então,
Passo 5
Calculando
:
Os números pares no conjunto são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Então, .
Os números pares no conjunto são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Então,
Passo 6
Calculando
:
Os números que são múltiplos de 3 e pares são: 6, 12, 18.
Então, .
Os números que são múltiplos de 3 e pares são: 6, 12, 18.
Então,
Passo 7
Agora, vamos verificar a condição de independência:
Dois eventos A e B são independentes se .
Dois eventos A e B são independentes se
Calculando
.
Como
é igual a
, os eventos A e B são independentes.
Passo 8
Agora, vamos analisar o item (b):
- Evento C: o número é primo.
- Evento D: o número é ímpar.
De maneira semelhante, vamos calcular:
-
: Probabilidade de C ocorrer. -
: Probabilidade de D ocorrer. -
: Probabilidade de ambos C e D ocorrerem.
Passo 9
Calculando
:
Os números primos no conjunto são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então, .
Os números primos no conjunto são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então,
Passo 10
Calculando
:
Os números ímpares no conjunto são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Então, .
Os números ímpares no conjunto são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Então,
Passo 11
Calculando
:
Os números que são primos e ímpares são: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então, .
Os números que são primos e ímpares são: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Então,
Passo 12
Verificando a condição de independência:
Calculando .
Calculando
Como
é diferente de
, os eventos C e D são dependentes.
Resposta
(a) Os eventos A e B são independentes.
(b) Os eventos C e D são dependentes.