Efetuar a operação: 42,1 sen(377 t+30^circ)-60 sen(377 t-20^circ) e dar o resultado como uma Função no tempo. Resp: 46.10. sen(377.t +115,63^0 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa operação juntos! A questão nos pede para calcular a expressão:
42,1 cdot sin(377 t + 30^circ) - 60 cdot sin(377 t - 20^circ)
Estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente senos com diferentes amplitudes e fases. Para simplificar isso em uma única função no tempo, vamos usar algumas propriedades de combinações de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes e os ângulos de fase de cada termo:
  • Primeiro termo: amplitude $ A_1 = 42,1 $, fase $ \phi_1 = 30^{\circ} $
  • Segundo termo: amplitude $ A_2 = -60 $ (o sinal negativo já está incluído aqui), fase $ \phi_2 = -20^{\circ} $

Passo 3

Para combinar esses dois senos em uma única função, usamos a seguinte fórmula:
A cdot sin(omega t + phi) = A1 cdot sin(omega t + phi1) + A2 cdot sin(omega t + phi2)
Nosso objetivo é encontrar $ A $ e $ \phi $ que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Utilizamos a identidade trigonométrica para somar dois senos:
A1 cdot sin(theta + phi1) + A2 cdot sin(theta + phi2) = raiz(A1 cos phi1 + A2 cos phi2)^2 + (A1 sin phi1 + A2 sin phi2)^2 cdot sin(theta + phi)
Aqui, $ \theta = 377 t $.

Passo 5

Vamos calcular os componentes:
  • Componente Real:
A1 cos phi1 + A2 cos phi2 = 42,1 cdot cos(30^circ) + (-60) cdot cos(-20^circ)
Lembrando que $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $:
cos(-theta) = cos(theta)
Calculando numericamente:
= 42,1 cdot raiz32 + (-60) cdot cos(20^circ)
  • Componente Imaginária:
approx 42,1 cdot 0,8660 + (-60) cdot 0,9397 approx 36,44 - 56,38 approx -19,94
Lembrando que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $:
A1 sin phi1 + A2 sin phi2 = 42,1 cdot sin(30^circ) + (-60) cdot sin(-20^circ)

Passo 6

Agora, calculamos a amplitude $ A $:
A

Passo 7

Para encontrar a fase $ \phi $:
phi á
Como a componente real é negativa e a imaginária positiva, o ângulo está no segundo quadrante, então adicionamos $ 180^{\circ} $:
tan phi = Componente ImagináriaComponente Real = 41,57-19,94 phi = arctan(41,57-19,94) phi approx arctan(-2,085) phi approx -64,37^circ

Resposta

A função resultante é:
46,10 cdot sin(377 t + 115,63^circ)

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