Efetue as operações a seguir e expresse as respostas em forma retangular.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão envolvendo números complexos, alguns na forma polar e outro na forma retangular. O conteúdo que vamos usar é a multiplicação e divisão de números complexos, além da conversão entre as formas polar e retangular. Vamos precisar saber como multiplicar e dividir números complexos na forma polar e também como lidar com forma retangular (como ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos que temos:
  • : número complexo na forma polar, com módulo 6 e ângulo de 20 graus.
  • : outro número complexo na forma polar, com módulo 120 e ângulo de -40 graus.
  • : número complexo na forma retangular, com parte real 3 e parte imaginária 8.
  • : número complexo na forma polar, com módulo 2 e ângulo de -30 graus.

Passo 3

Vamos multiplicar os números na forma polar primeiro. Quando multiplicamos números complexos na forma polar ( e ), o resultado é outro número complexo na forma polar com módulo e ângulo .
Então, multiplicando por :
Portanto, o resultado dessa multiplicação é .

Passo 4

Agora, temos que multiplicar esse resultado pelo número na forma retangular . Para facilitar, vamos converter para a forma retangular.
A conversão de polar para retangular usa as fórmulas:
Então,
Portanto, na forma retangular é aproximadamente .

Passo 5

Agora, multiplicamos isso pelo . Para multiplicar dois números complexos na forma retangular ( e ), usamos a distributiva:
Aplicando isso:
Calculando cada parte:
Lembrando que , então:
Somando tudo:
ú
[
= 4., estamos um pouco perdidos aqui sem números exatos, mas seguimos.

Passo 6

Desculpe pelo erro anterior. Vamos refazer a soma corretamente:
[
2.029,752 + 1.969,92 = 4. (Lá teve um erro na soma dos números reais. Vamos corrigir)
Então, o resultado da multiplicação é:

Passo 7

Agora, vamos dividir esse resultado pelo número . Primeiro, convertemos para a forma retangular.
Portanto, na forma retangular é .

Passo 8

Agora, vamos dividir por . Para dividir dois números complexos na forma retangular , multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Aplicando isso:
Numerador:
Denominador:
Então:

Resposta

O resultado da expressão é aproximadamente na forma retangular.

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