Efetue as operações a seguir e expresse as respostas em forma retangular.
c) (6 ang<= 20^circ)(120 ang<=-40^circ)(3+j 8)2 ang<=-30^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão envolvendo números complexos, alguns na forma polar e outro na forma retangular. O conteúdo que vamos usar é a multiplicação e divisão de números complexos, além da conversão entre as formas polar e retangular. Vamos precisar saber como multiplicar e dividir números complexos na forma polar e também como lidar com forma retangular (como ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos que temos:
  • : número complexo na forma polar, com módulo 6 e ângulo de 20 graus.
  • : outro número complexo na forma polar, com módulo 120 e ângulo de -40 graus.
  • : número complexo na forma retangular, com parte real 3 e parte imaginária 8.
  • : número complexo na forma polar, com módulo 2 e ângulo de -30 graus.

Passo 3

Vamos multiplicar os números na forma polar primeiro. Quando multiplicamos números complexos na forma polar ( 6 times 120 = 720 e 20^circ + (-40^circ) = -20^circ ), o resultado é outro número complexo na forma polar com módulo e ângulo .
Então, multiplicando por :
Portanto, o resultado dessa multiplicação é .

Passo 4

Agora, temos que multiplicar esse resultado x = r cos(theta) pelo número na forma retangular y = r sin(theta) . Para facilitar, vamos converter x = 720 cos(-20^circ) approx 720 times 0,9397 approx 676,584 para a forma retangular.
A conversão de polar para retangular usa as fórmulas:
y = 720 sin(-20^circ) approx 720 times (-0,3420) approx -246,24
Então,
Portanto, na forma retangular é aproximadamente .

Passo 5

Agora, multiplicamos isso pelo (a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc) . Para multiplicar dois números complexos na forma retangular ( (676,584 - j246,24)(3 + j8) = 676,584 times 3 + 676,584 times j8 - j246,24 times 3 - j246,24 times j8 e 676,584 times 3 = 2.029,752 ), usamos a distributiva:
676,584 times 8 = 5.412,672j
Aplicando isso:
-246,24 times 3 = -738,72j
Calculando cada parte:
-246,24 times 8 = -1.969,92j^2
-1.969,92j^2 = 1.969,92
2.029,752 + 5.412,672j - 738,72j + 1.969,92 = (2.029,752 + 1.969,92) + (5.412,672j - 738,72j)
= 4, se usar números exatos, mas aqui vamos arredondar:
Lembrando que , então:
Somando tudo:
ú
[
= 4., estamos um pouco perdidos aqui sem números exatos, mas seguimos.

Passo 6

Desculpe pelo erro anterior. Vamos refazer a soma corretamente:
[
2.029,752 + 1.969,92 = 4. (Lá teve um erro na soma dos números reais. Vamos corrigir)
2.029,752 + 1.969,92 = 4 (Lá teve um erro na soma dos números reais Vamos corrigir) [ 2.029,752 + 1.969,92 = 4.000,672
5.412,672j - 738,72j = -733,307j
Então, o resultado da multiplicação é:
4.000,672 - 733,307j

Passo 7

Agora, vamos dividir esse resultado pelo número x = 2 cos(-30^circ) approx 2 times 0,8660 approx 1,732 . Primeiro, convertemos y = 2 sin(-30^circ) approx 2 times (-0,5) = -1 para a forma retangular.
Portanto, na forma retangular é .

Passo 8

Agora, vamos dividir a + jbc + jd = (a + jb)(c - jd)(c + jd)(c - jd) = (ac + bd) + j(bc - ad)c^2 + d^2 por (4.000,672 times 1,732) + (−733,307 times 1) = 6.928,631 - 733,307 = 6.195,324 . Para dividir dois números complexos na forma retangular (−733,307 times 1,732) - (4.000,672 times 1) = −1.267,631 - 4.000,672 = −5.268,303j , multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
1,732^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4
Aplicando isso:
Numerador:
6.195,324 - 5.268,303j4 = 1.548,831 - 1.317,076j
Denominador:
Então:

Resposta

O resultado da expressão é aproximadamente na forma retangular.

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