A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90 %. Esşe mesmo teste, porém, produz um falsopositivo (acusa positivo em quem não tem comprovamente a doença) da ordem de 1 %. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5 %, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a chance de que o resultado desse teste venha a ser positivo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a eficácia de um teste para detectar uma doença. Ele envolve conceitos de probabilidade, mais especificamente probabilidade condicional. Para resolver, precisamos entender as taxas de acerto do teste, a taxa de falsos positivos e a incidência da doença na população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as informações que temos:
  • Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa tem a doença (Verdadeiro Positivo): 90%, ou seja, P(T|D) = 0,9.
  • Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa não tem a doença (Falso Positivo): 1%, ou seja, P(T|neg D) = 0,01.
  • Incidência da doença na população: 0,5%, ou seja, P(D) = 0,005.
  • Probabilidade de não ter a doença: 99,5%, ou seja, P(neg D) = 0,995.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o teste dê positivo para uma pessoa escolhida ao acaso, independente de ela ter ou não a doença. Isso é calculado usando a Lei da Probabilidade Total, que diz:
P(T) = P(T|D) cdot P(D) + P(T|neg D) cdot P(neg D)

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
P(T) = 0,9 times 0,005 + 0,01 times 0,995

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. 0,9 times 0,005 = 0,0045
  2. 0,01 times 0,995 = 0,00995

Passo 6

Somando os dois resultados:
P(T) = 0,0045 + 0,00995 = 0,01445

Resposta

A chance de que o teste seja positivo é de aproximadamente 1,445%.

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