a) Um eixo de aço tem diâmetro de 8,000 cm a 25^circ C. Um anel de latão tem diâmetro interno de 7,992 cm a 25^circ C. A que temperatura o anel deve ser aquecido para que ele deslize exatamente sobre o eixo, supondo que o eixo permaneça a 25^circ C?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um eixo de aço com diâmetro de 8,000 cm a 25°C e um anel de latão com diâmetro interno de 7,992 cm também a 25°C. A pergunta é: a que temperatura a gente precisa aquecer o anel de latão para que ele deslize exatamente sobre o eixo de aço, assumindo que o eixo não vai mudar de temperatura?
Aqui, a gente vai mexer com o coeficiente de dilatação térmica dos materiais, que nos ajuda a entender como o tamanho de um material muda quando a temperatura muda. Precisamos saber o coeficiente de dilatação do latão para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento (ou diâmetro, no nosso caso).
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear do material.
  • L0 é o comprimento (ou diâmetro) inicial.
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

No nosso caso, queremos que o diâmetro interno do anel de latão seja igual ao diâmetro do eixo de aço após o aquecimento. Ou seja:
Danel(T) = Deixo = 8,000 , cm
Sabemos que:
Danel(T) = Danel, 25°C + De
Substituindo na fórmula da dilatação:
Danel(T) = D0 + alpha cdot D0 cdot De
Onde:
  • D0 = 7,992 , cm
  • alpha para latão ≈ 19 times 10^-6 , °C^-1

Passo 4

Agora, igualamos o diâmetro do anel ao do eixo:
7,992 , cm + 7,992 , cm cdot 19 times 10^-6 cdot De
Vamos resolver para De:
7,992 cdot (1 + 19 times 10^-6 cdot De

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 7,992:
1 + 19 times 10^-6 cdot De
Subtraindo 1 de ambos os lados:
19 times 10^-6 cdot De

Passo 6

Finalmente, isolamos De:
De

Resposta

O anel de latão deve ser aquecido a aproximadamente 130,26°C (25°C + 105,26°C) para que ele deslize exatamente sobre o eixo de aço.

Exercícios relacionados