Os pistões de um motor de automóvel são feitos de uma liga de alumínio, e os cilindros são feitos de ferro fundido. a) Se o diâmetro de um pistão for de 92,25 mm a 20^circ C, qual deve ser o diâmetro mínimo do cilindro a essa temperatura para que o pistão opere com uma folga mínima de 0,070 mm quando o motor estiver a 100^circ C?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está lidando com dilatação térmica, que faz parte da física de termodinâmica. Precisamos calcular o diâmetro mínimo do cilindro a 20°C para garantir que, quando o motor aquece para 100°C, o pistão ainda tenha uma folga de pelo menos 0,070 mm. Para isso, vamos usar a fórmula de dilatação linear e levar em conta os coeficientes de dilatação dos materiais envolvidos: alumínio para o pistão e ferro fundido para o cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação térmica. A fórmula geral para o comprimento (ou diâmetro) após a dilatação é:
D = D0 times (1 + alpha De
Onde:
  • $ D $ é o diâmetro final,
  • $ D_0 $ é o diâmetro inicial,
  • $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear do material,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, precisamos dos coeficientes de dilatação para os materiais:
  • Alumínio: aproximadamente $ 23 \times 10^{-6} , °C^{-1} $
  • Ferro Fundido: aproximadamente $ 11 \times 10^{-6} , °C^{-1} $
Esses valores nos ajudam a calcular como cada material expande quando a temperatura aumenta.

Passo 4

Vamos calcular a dilatação do pistão de alumínio. Sabemos que:
  • Diâmetro inicial do pistão, $ D_{p0} = 92,25 , mm $
  • Temperatura inicial, $ T_0 = 20 , °C $
  • Temperatura final, $ T_f = 100 , °C $
  • Variação de temperatura, $ \Delta T = T_f - T_0 = 80 , °C $
Aplicando a fórmula:
Dp0 = 92,25 , mm
T0 = 20 , °C
Tf = 100 , °C
De

Passo 5

Agora, vamos calcular qual deve ser o diâmetro do cilindro de ferro fundido a 20°C para que, após a dilatação, tenha uma folga de 0,070 mm com o pistão a 100°C.
Chamemos o diâmetro inicial do cilindro de $ D_{c0} $. Após a dilatação:
Dc0
Dc = Dc0 times (1 + 11 times 10^-6 times 80)
Dc = Dc0 times (1 + 0,00088)

Passo 6

Queremos que, após a dilatação, a diferença entre o diâmetro do cilindro e o do pistão seja pelo menos 0,070 mm:
Dc - Dp >= 0,070
Substituindo $ D_{c} $:
Dc
Dc0 times 1,00088 - 92,425 >= 0,070

Passo 7

Agora, isolamos $ D_{c0} $:
Dc0
Dc0 >= 92,4951,00088

Resposta

Portanto, o diâmetro mínimo do cilindro a 20°C deve ser de 92,308 mm para garantir uma folga mínima de 0,070 mm quando o motor atingir 100°C.

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