Os pistões de um motor de automóvel são feitos de uma liga de alumínio, e os cilindros são feitos de ferro fundido. a) Se o diâmetro de um pistão for de 92,25 mm a
, qual deve ser o diâmetro mínimo do cilindro a essa temperatura para que o pistão opere com uma folga mínima de 0,070 mm quando o motor estiver a
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está lidando com dilatação térmica, que faz parte da física de termodinâmica. Precisamos calcular o diâmetro mínimo do cilindro a 20°C para garantir que, quando o motor aquece para 100°C, o pistão ainda tenha uma folga de pelo menos 0,070 mm. Para isso, vamos usar a fórmula de dilatação linear e levar em conta os coeficientes de dilatação dos materiais envolvidos: alumínio para o pistão e ferro fundido para o cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a dilatação térmica. A fórmula geral para o comprimento (ou diâmetro) após a dilatação é:
Onde:
- $ D $ é o diâmetro final,
- $ D_0 $ é o diâmetro inicial,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear do material,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 3
Agora, precisamos dos coeficientes de dilatação para os materiais:
- Alumínio: aproximadamente $ 23 \times 10^{-6} , °C^{-1} $
- Ferro Fundido: aproximadamente $ 11 \times 10^{-6} , °C^{-1} $
Esses valores nos ajudam a calcular como cada material expande quando a temperatura aumenta.
Passo 4
Vamos calcular a dilatação do pistão de alumínio. Sabemos que:
- Diâmetro inicial do pistão, $ D_{p0} = 92,25 , mm $
- Temperatura inicial, $ T_0 = 20 , °C $
- Temperatura final, $ T_f = 100 , °C $
- Variação de temperatura, $ \Delta T = T_f - T_0 = 80 , °C $
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular qual deve ser o diâmetro do cilindro de ferro fundido a 20°C para que, após a dilatação, tenha uma folga de 0,070 mm com o pistão a 100°C.
Chamemos o diâmetro inicial do cilindro de $ D_{c0} $. Após a dilatação:
Passo 6
Queremos que, após a dilatação, a diferença entre o diâmetro do cilindro e o do pistão seja pelo menos 0,070 mm:
Substituindo $ D_{c} $:
Passo 7
Agora, isolamos $ D_{c0} $:
Resposta
Portanto, o diâmetro mínimo do cilindro a 20°C deve ser de 92,308 mm para garantir uma folga mínima de 0,070 mm quando o motor atingir 100°C.