Uma haste de latão com 50,0 cm de comprimento e 1,00 cm de diâmetro se estende 0,100% quando suporta uma carga em suas extremidades. Qual é o módulo de Young para o latão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o módulo de Young do latão. A situação envolve uma haste de latão que, ao suportar uma carga, se estende um pouquinho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados ao alongamento e ao módulo de Young. Precisamos saber o comprimento inicial da haste, o diâmetro, a porcentagem de extensão e a fórmula que relaciona tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Comprimento inicial (L): 50,0 cm = 0,50 metros
  • Diâmetro (d): 1,00 cm = 0,01 metros
  • Extensão percentual (ΔL%): 0,100%
A extensão real (ΔL) é 0,100% de 50,0 cm. Vamos calcular isso:
De

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a área da seção transversal da haste. Como a haste é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi d^24
Substituindo o valor do diâmetro:
A = pi (0,01, m)^24 = pi times 0,0001, m^24 approx 7,85 times 10^-5, m^2

Passo 4

O módulo de Young (Y) é uma medida de rigidez de um material e é dado pela relação entre o estresse (σ) e a deformação (ε):
Y = sigmaepsilon
Onde:
  • Estresse (σ): sigma = FA (força por área)
  • Deformação (ε): epsilon = De (proporção de alongamento)
Substituindo essas expressões na fórmula do módulo de Young:
Y = FADe

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a fórmula para encontrar o módulo de Young:
Y = F times LA times De
Inserindo os valores que já calculamos:
Y = F times 0,50, m7,85 times 10^-5, m^2 times 0,0005, m = 0,50, F3,925 times 10^-8, m^3

Passo 6

Simplificando a expressão:
Y = 0,50, F3,925 times 10^-8 approx 1,275 times 10^7, F, Pa
Aqui, F é a força aplicada na haste. Como o problema não forneceu o valor numérico de F, o módulo de Young está expresso em termos de F.

Resposta

O módulo de Young para o latão é dado por:
Y = F times 0,50, m7,85 times 10^-5, m^2 times 0,0005, m approx 1,275 times 10^7, F, Pa
Ou seja, o módulo de Young depende da força F aplicada na haste.

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