Um eixo maciço de aço com 1,00 in ( 2,54 cm) de diâmetro suporta as cargas PA=180 lb(800,7 N) e PC=240 lb(1.067 N). Admita L1=5 in (12,7 cm), L2=16 in (40. cm) e L3=8 in (20,32 cm). O apoio em B pode ser considerado como um apoio de primeiro gênero (rolete) e o apoio em D pode ser considerado um apoio de segundo gênero (pino). Determine o local da tensão normal máxima oriunda da flexão no eixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um eixo de aço maciço com diâmetro de 2,54 cm que está sustentando duas cargas: e . As distâncias entre os apoios são , e . Os apoios em B e D são do primeiro e segundo gênero, respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir onde ocorre a maior tensão normal devido à flexão no eixo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estática para encontrar as reações nos apoios e depois aplicar a teoria de flexão para identificar o ponto de máxima tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as reações nos apoios B e D. Como o apoio em B é um rolete (apoio de primeiro gênero), ele só suporta carga vertical. Já o apoio em D é um pino (apoio de segundo gênero), podendo suportar cargas tanto verticais quanto horizontais. Mas, como não há cargas horizontais aplicadas, consideramos apenas as reações verticais em D.

Passo 3

Vamos fazer um diagrama de corpo livre do eixo e aplicar as condições de equilíbrio. As forças que atuam são RB + RD = PA + PC e RD cdot (L1 + L2) = PA cdot L1 + PC cdot (L1 + L2 + L3) , além das reações em B e em D. As condições de equilíbrio são:
  1. Soma das forças verticais igual a zero:
  1. Soma dos momentos em torno de um ponto (vamos escolher o ponto B para facilitar):

Passo 4

Vamos substituir os valores numéricos nas equações:
  1. RB + RD = 1.867,7 , N
RD cdot 53,02 = 800,7 cdot 12,7 + 1.067 cdot (53,02 + 20,32)
  1. O comprimento total até D é RD cdot 53,02 = 800,7 cdot 12,7 + 1.067 cdot 73,34 , e o comprimento adicional para RD cdot 53,02 = 10.168,89 + 78,28 é RD cdot 53,02 = 10.247,17 . Então:
RD = 10.247,1753,02
RD approx 193,0 , N

Passo 5

Agora que temos RB = 1.867,7 - 193,0 , podemos encontrar RB = 1.674,7 , N usando a primeira equação:

Passo 6

Com as reações conhecidas, vamos construir o diagrama de momentos fletores ao longo do eixo. A tensão de flexão máxima ocorre onde o momento fletor é máximo. Vamos calcular o momento fletor em diferentes seções do eixo.

Passo 7

Usamos a fórmula da flexão para encontrar a tensão normal:
sigma = M cdot cI
onde:
  • I = pi d^464 é o momento fletor,
  • I = pi (2,54)^464 approx 33,0 , cm^4 é a distância do centro da seção à fibra mais afastada,
  • é o momento de inércia da seção.
Para um eixo circular:
Com diâmetro :

Passo 8

Vamos calcular o momento fletor máximo. Observando as posições das cargas e reações, o momento máximo geralmente ocorre sob a maior carga ou próximo aos apoios. Vamos considerar o segmento onde a carga Mmáx = RD cdot L2 = 193,0 , N cdot 40,32 , cm = 7.776,96 , Ncm está aplicada, pois provavelmente será onde o momento será maior.
á

Passo 9

Agora, calculamos a tensão normal máxima:
sigmamáx = 7.776,96 cdot (2,54 / 2)33,0 approx 7.776,96 cdot 1,2733,0 approx 9.87233,0 approx 0,299 , N/cm^2 á

Resposta

A tensão normal máxima devido à flexão no eixo ocorre aproximadamente a 40,32 cm do apoio D, onde se encontra a carga , com um valor de á.

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