Quantas componentes de tensão e deformação definem, respectivamente, um estado duplo de tensões e deformações num ponto? Apresente as formas tensoriais desses dois estados. Apresente também os conceitos de tensão e deformação num ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber quantas componentes de tensão e deformação existem num estado duplo em um ponto, como são essas formas tensorais e também entender os conceitos básicos de tensão e deformação. Para isso, vamos usar a matéria de mecânica dos sólidos, especificamente os conceitos de tensores de tensão e deformação. Vamos precisar entender o que são tensores, como eles representam essas grandezas e quantas componentes eles têm.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um tensor de tensão. Em mecânica dos sólidos, a tensão representa a força interna por unidade de área atuando em diferentes direções dentro de um material. Essa tensão é descrita por um tensor, que no caso tridimensional é um tensor de segunda ordem.

Passo 3

Um tensor de segunda ordem em três dimensões tem 3 linhas e 3 colunas, totalizando 9 componentes. Porém, devido à simetria das tensões (a tensão ), nem todas essas componentes são independentes. Isso reduz o número de componentes independentes para 6.

Passo 4

Agora, vamos ao tensor de deformação. A deformação descreve como o material se deforma sob a ação das tensões. Assim como a tensão, a deformação também é representada por um tensor de segunda ordem. Em três dimensões, esse tensor também tem 9 componentes, mas com a simetria , resultando em 6 componentes independentes.

Passo 5

Então, tanto para o tensor de tensão quanto para o tensor de deformação, temos 6 componentes independentes cada um em um estado duplo tridimensional.

Passo 6

Agora, vamos apresentar as formas tensorais desses dois estados. O tensor de tensão e o tensor de deformação podem ser representados da seguinte maneira:
Tensor de Tensão:
Tensor de Deformação:

Passo 7

Por fim, vamos recapitular os conceitos:
  • Tensão num ponto: É uma medida das forças internas que atuam em um ponto dentro de um material, por unidade de área. Essas forças podem atuar em diferentes direções e planos, sendo representadas pelo tensor de tensão.
  • Deformação num ponto: Refere-se à mudança na forma ou no tamanho de um material sob a ação das tensões. É uma medida relativa das deslocações internas do material, representada pelo tensor de deformação.

Resposta

Num estado duplo tridimensional, existem 6 componentes de tensão e 6 componentes de deformação que definem, respectivamente, o estado de tensões e deformações num ponto. As formas tensorais desses estados são os tensores e apresentados acima, representando as tensões e deformações internas em diferentes direções dentro do material.

Exercícios relacionados

Duas placas de aço [ ksi (206,8 GPa) estão ligadas a uma prancha de pinho [ ] para formar uma viga composta (Figura P8.47). A tensão normal admissível para a flexão das placas de aço é 24.000 psi e a tensão normal admissível para a flexão da peça de pinho é 1.200 psi ( ). Determine o momento fletor máximo que pode ser aplicado em torno do eixo horizontal da viga.
Um eixo maciço de aço com 1,00 in ( ) de diâmetro suporta as cargas e . Admita in in (40. e in . O apoio em pode ser considerado como um apoio de primeiro gênero (rolete) e o apoio em pode ser considerado um apoio de segundo gênero (pino). Determine o local da tensão normal máxima oriunda da flexão no eixo.
Como relacionar as componentes do tensor de tensões com as componentes do tensor das deformações? Apresente as relações tensãodeformação para o caso tridimensional. Como relacionar as componentes do tensor das deformações com as componentes do vetor deslocamento?
Apresente as relações deformação-deslocamento para o caso tridimensional.
Posso medir diretamente campo de tensões via rosetas de deformação? Explique.