O estado de tensão plana num ponto é dado por: , e . Determine o estado de deformação no mesmo ponto. Determine as deformações principais e as respectivas direções. Adote: e . Utilizar o Círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um estado de tensão plana em um ponto com os seguintes valores:
O conteúdo que vamos usar aqui é a Mecânica dos Solids, especificamente a teoria de tensão e deformação plana. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar as leis de Hooke para relacionar tensões e deformações, além do Círculo de Mohr para determinar as deformações principais e suas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar as tensões às deformações usando as leis de Hooke para o estado de tensão plana. As equações são:
Aqui, é o módulo de elasticidade, é o coeficiente de Poisson, e é o módulo de cisalhamento, que pode ser calculado por:
Vamos calcular primeiro.

Passo 3

Calculando o módulo de cisalhamento :

Passo 4

Agora, vamos calcular as deformações , e usando as equações de Hooke:

Passo 5

Agora que temos as deformações, vamos usar o Círculo de Mohr para determinar as deformações principais e as respectivas direções. As deformações principais são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas onde não há deformação de cisalhamento.
As fórmulas para calcular as deformações principais são:
E a direção das deformações principais em relação ao eixo é dada por:

Passo 6

Vamos calcular e :
Primeiro, a média das deformações:
Agora, a diferença:
E o termo de cisalhamento:
Agora, calculamos a raiz:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a direção das deformações principais :
Então,
Isso significa que as deformações principais ocorrem a do eixo .

Resposta

O estado de deformação no ponto é:
As deformações principais são:
As respectivas direções das deformações principais estão inclinadas a em relação ao eixo .

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