O estado de tensão plana num ponto é dado por: sigmax=100 kN / m^2, sigmay=500 kN / m^2 e tauxy=2 0 0 kN / m^2. Determine o estado de deformação no mesmo ponto. Determine as deformações principais e as respectivas direções. Adote: E = 1 0 cdot 1 0 ^ 6 k N / m^2 e nu = 0 , 2. Utilizar o Círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um estado de tensão plana em um ponto com os seguintes valores:
  • sigmax = 100 , kN/m^2
  • sigmay = 500 , kN/m^2
  • tauxy = 200 , kN/m^2
O conteúdo que vamos usar aqui é a Mecânica dos Solids, especificamente a teoria de tensão e deformação plana. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar as leis de Hooke para relacionar tensões e deformações, além do Círculo de Mohr para determinar as deformações principais e suas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar as tensões às deformações usando as leis de Hooke para o estado de tensão plana. As equações são:
varepsilonx = 1E (sigmax - nu sigmay)
varepsilony = 1E (sigmay - nu sigmax)
gammaxy = tauxyG
Aqui, E é o módulo de elasticidade, nu é o coeficiente de Poisson, e G é o módulo de cisalhamento, que pode ser calculado por:
G = E2(1 + nu)
Vamos calcular G primeiro.

Passo 3

Calculando o módulo de cisalhamento G:
G = E2(1 + nu) = 10^10 , kN/m^22(1 + 0,2) = 10^102,4 approx 4,1667 times 10^9 , kN/m^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as deformações varepsilonx, varepsilony e gammaxy usando as equações de Hooke:
varepsilonx = 1E (sigmax - nu sigmay) = 110^10 (100 - 0,2 times 500) = 110^10 (100 - 100) = 0
varepsilony = 1E (sigmay - nu sigmax) = 110^10 (500 - 0,2 times 100) = 110^10 (500 - 20) = 48010^10 = 4,8 times 10^-8
gammaxy = tauxyG = 2004,1667 times 10^9 approx 4,8 times 10^-8

Passo 5

Agora que temos as deformações, vamos usar o Círculo de Mohr para determinar as deformações principais e as respectivas direções. As deformações principais são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas onde não há deformação de cisalhamento.
As fórmulas para calcular as deformações principais são:
varepsilon1,2 = varepsilonx + varepsilony2 pm raiz( varepsilonx - varepsilony2 )^2 + ( gammaxy2 )^2
E a direção thetap das deformações principais em relação ao eixo x é dada por:
tan(2thetap) = gammaxyvarepsilonx - varepsilony

Passo 6

Vamos calcular varepsilon1 e varepsilon2:
Primeiro, a média das deformações:
varepsilonx + varepsilony2 = 0 + 4,8 times 10^-82 = 2,4 times 10^-8
Agora, a diferença:
varepsilonx - varepsilony2 = 0 - 4,8 times 10^-82 = -2,4 times 10^-8
E o termo de cisalhamento:
gammaxy2 = 4,8 times 10^-82 = 2,4 times 10^-8
Agora, calculamos a raiz:
raiz(-2,4 times 10^-8)^2 + (2,4 times 10^-8)^2 = raiz(5,76 times 10^-16) + (5,76 times 10^-16) = raiz1,152 times 10^-15 approx 3,39 times 10^-8
Portanto:
varepsilon1 = 2,4 times 10^-8 + 3,39 times 10^-8 approx 5,79 times 10^-8
varepsilon2 = 2,4 times 10^-8 - 3,39 times 10^-8 approx -0,99 times 10^-8

Passo 7

Agora, vamos encontrar a direção das deformações principais thetap:
tan(2thetap) = gammaxyvarepsilonx - varepsilony = 4,8 times 10^-80 - 4,8 times 10^-8 = -1
Então,
2thetap = arctan(-1) = -45^circ
thetap = -22,5^circ
Isso significa que as deformações principais ocorrem a 22,5^circ do eixo x.

Resposta

O estado de deformação no ponto é:
varepsilonx = 0
varepsilony = 4,8 times 10^-8
gammaxy = 4,8 times 10^-8
As deformações principais são:
varepsilon1 approx 5,79 times 10^-8
varepsilon2 approx -0,99 times 10^-8
As respectivas direções das deformações principais estão inclinadas a 22,5^circ em relação ao eixo x.

Exercícios relacionados