Um eixo rotativo de massa
e rigidez
é submetido a uma força
. Determine a resposta
utilizando a Transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a resposta
de um eixo rotativo que tem massa
e rigidez
, quando submetido a uma força
. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na resolução de equações diferenciais, especialmente em sistemas dinâmicos como esse.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o modelo físico. Temos um sistema massa-mola, onde a massa é
e a rigidez da mola é
. A força externa aplicada é uma função do tempo. A equação de movimento para esse sistema é dada pela segunda lei de Newton:
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos na equação:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Assumindo que as condições iniciais são zero (
e
), a equação se transforma em:
Passo 5
Vamos simplificar a equação no domínio de Laplace:
Isolando
:
Passo 6
Vamos simplificar ainda mais o denominador:
Então,
Passo 7
Para encontrar
, precisamos fazer a decomposição em frações parciais. Vamos considerar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e agrupando termos:
Comparando os coeficientes:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação,
.
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 9
Voltando à expressão de
:
Passo 10
Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Aplicando isso:
Resposta
A resposta do sistema é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
.
Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se
denota a quantidade de substância no tanque no instanante
, então
é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de
. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é
Com essa infromação considere a seguinte situação:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de . Dois minutos depois, sua temperatura passa a
. Determine o tempo que levará para atingir uma temperatura de
, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado é de
.
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de
Um veículo com massa
possui suspensão com amortecimento
e rigidez
. Calcule o deslocamento
após um impulso inicial de 0.2 m .