Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial: t y' - y = 0 ; y(t) = 3 t + t^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por e uma função proposta . Nosso objetivo é verificar se essa função é realmente uma solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos básicos de derivadas e substituição de funções em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na equação diferencial original :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão substituindo e realizando as operações:

Passo 5

A equação diferencial original é . Após substituir e , obtivemos . Para que seja uma solução da equação diferencial, a expressão substituída deve ser igual a zero. Porém, para .

Resposta

A função não é uma solução da equação diferencial , pois, após a substituição, obtemos uma expressão diferente de zero.

Exercícios relacionados

Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) denota a quantidade de substância no tanque no instanante t, então y'(t) é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
dy/dt = (taxa de entrada) - (taxa de saída)í
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 18 L/min. A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de 18 L/min. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?
Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo R= (x, y) ;|x-x0| <= a,|y-y0| <= b, a solução exata (y(x)) do poblema de valor inicial(PVI)
y^prime & =f(x, y), y(x0) & =y0
pode ser aproximada mediante a sequência (yn(x)), n=0,1,2 ldots, onde
yn(x)=y0+integralx0^x f(t, yn-1(t)) d t, (n=1,2, ldots)
Mostra-se que a sequência (yn(x)) converge para a solução exata y(x), x0- alpha, onde
M:=max (x, y) in Re|f(x, y)|, h:=min (a, bM)
Verifica-se que
|y(x)-yn(x)| <= M cdot N^n-1n! h^n
onde
N=max (x, y) in R|partial fpartial y|
Pelo método da aproximações sucessivas de Picard, determine as aproximações y1, y2 e y3 do PVI
y^prime & =x+y y(0) & =0
no retângulo R=(x, y) ;|x| <= 1,|y| <= 1. Além disso, estime o erro de aproximação
|y(x)-y3(x)|
Um eixo rotativo de massa m = 8 kg e rigidez k = 600 N/m é submetido a uma força F(t) 30 cos(5 t) N. Determine a resposta x(t) utilizando a Transformada de Laplace.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm do meio ambiente, isto é
dT/dt = k(T - Tm), onde k é a constante de proporcionalidade.é
Com essa infromação considere a seguinte situação:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 250 graus C. Dois minutos depois, sua temperatura passa a 180 graus C. Determine o tempo que levará para atingir uma temperatura de 50 graus C, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado é de 38 graus C.