A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm do meio ambiente, isto é
dT/dt = k(T - Tm), onde k é a constante de proporcionalidade.é
Com essa infromação considere a seguinte situação:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 250 graus C. Dois minutos depois, sua temperatura passa a 180 graus C. Determine o tempo que levará para atingir uma temperatura de 50 graus C, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado é de 38 graus C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um bolo retirado do forno a 250°C e, após 2 minutos, sua temperatura cai para 180°C. Queremos descobrir quanto tempo levará para o bolo esfriar até 50°C, sabendo que a temperatura do ambiente é de 38°C. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura de um objeto com a diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Resfriamento de Newton:
onde:
  • é a temperatura do bolo no tempo ,
  • é a temperatura do meio ambiente (38°C),
  • é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar a equação:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a constante usando a condição inicial. Quando , :
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Usamos a segunda condição: quando minutos, :
Subtraindo 38 de ambos os lados:
Dividindo por 212:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:
Usando uma calculadora:

Passo 8

Agora que temos , podemos usar a equação para encontrar o tempo quando :
Subtraindo 38 de ambos os lados:
Dividindo por 212:
Simplificando:

Passo 9

Tiramos o logaritmo natural novamente:
Calculando:
Dividindo ambos os lados por -0.2015:

Resposta

O bolo atingirá a temperatura de aproximadamente 10,24 minutos após ser retirado do forno.

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