A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é
Com essa infromação considere a seguinte situação:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de
. Dois minutos depois, sua temperatura passa a
. Determine o tempo que levará para atingir uma temperatura de
, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado é de
.
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um bolo retirado do forno a 250°C e, após 2 minutos, sua temperatura cai para 180°C. Queremos descobrir quanto tempo levará para o bolo esfriar até 50°C, sabendo que a temperatura do ambiente é de 38°C. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura de um objeto com a diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Resfriamento de Newton:
onde:
-
é a temperatura do bolo no tempo , -
é a temperatura do meio ambiente (38°C), -
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar a equação:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a constante
usando a condição inicial. Quando
,
:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Usamos a segunda condição: quando
minutos,
:
Subtraindo 38 de ambos os lados:
Dividindo por 212:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:
Usando uma calculadora:
Passo 8
Agora que temos
, podemos usar a equação para encontrar o tempo
quando
:
Subtraindo 38 de ambos os lados:
Dividindo por 212:
Simplificando:
Passo 9
Tiramos o logaritmo natural novamente:
Calculando:
Dividindo ambos os lados por -0.2015:
Resposta
O bolo atingirá a temperatura de
aproximadamente 10,24 minutos após ser retirado do forno.
Exercícios relacionados
Um eixo rotativo de massa
e rigidez
é submetido a uma força
. Determine a resposta
utilizando a Transformada de Laplace.
Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
.
Um veículo com massa
possui suspensão com amortecimento
e rigidez
. Calcule o deslocamento
após um impulso inicial de 0.2 m .
Resolva os seguintes PVI