Um veículo com massa m = 1200 kg possui suspensão com amortecimento c = 1500 Ns/m e rigidez k = 60000 N/m. Calcule o deslocamento x(t) após um impulso inicial de 0.2 m .

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos lá! O enunciado fala sobre um veículo com massa que possui suspensão com amortecimento e rigidez . A tarefa é calcular o deslocamento após um impulso inicial de 0,2 metros.
O que vamos precisar:
  • Mecânica dos Sistemas Vibratórios: Para entender como a suspensão do veículo responde a um deslocamento.
  • Equação Diferencial de Segunda Ordem: Para modelar o movimento do sistema massa-mola-amortecedor.
  • Conceitos de Amortecimento: Para determinar como o sistema retorna ao equilíbrio após o deslocamento.

Passo 2

Modelando o Sistema com uma Equação Diferencial
Primeiro, vamos modelar o sistema massa-mola-amortecedor. A equação que descreve o movimento é uma equação diferencial de segunda ordem:
onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a rigidez da mola,
  • é o deslocamento em função do tempo.
Essa equação representa o equilíbrio entre a inércia do veículo, a força de amortecimento e a força restauradora da mola.

Passo 3

Encontrando a Solução da Equação Diferencial
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica do sistema.

Passo 4

Calculando as Raízes da Equação Característica
Vamos resolver a equação quadrática:
Substituindo os valores dados:
Dividindo toda a equação por 300 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara para encontrar :
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Como , as raízes são complexas.

Passo 5

Escrevendo a Solução Geral com as Raízes Complexas
Com as raízes complexas, a solução geral é:
onde:
  • é a frequência de oscilação amortecida,
  • e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Calculando :
E o termo do amortecimento:

Passo 6

Aplicando as Condições Iniciais
As condições iniciais são:
  • (deslocamento inicial),
  • (sem velocidade inicial).
Aplicando na solução geral:
Derivando :
Aplicando :

Passo 7

Escrevendo a Solução Final
Substituindo e na solução geral:
Essa é a expressão que descreve o deslocamento do veículo ao longo do tempo após o impulso inicial de 0,2 metros.

Resposta

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