Elaborar uma questão que envolva um dos assuntos da prova e cálculo diferencial/integral e a resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre otimização usando cálculo diferencial. A gente tem uma situação onde uma empresa quer construir um cercado retangular ao lado de uma parede, usando 100 metros de cerca, e o objetivo é encontrar as dimensões que vão maximizar a área desse cercado. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o ponto onde a área é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário. Temos um retângulo ao lado de uma parede, então não precisamos cercar a parede. Isso significa que vamos usar o material da cerca para os dois lados verticais e um lado horizontal do retângulo.
Vamos chamar a largura do retângulo de 2x + y = 100 metros e o comprimento, que fica paralelo à parede, de A = x times y metros.
A quantidade total de cerca usada é 100 metros, então podemos escrever a equação:
Agora, queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:

Passo 3

A gente quer expressar a área y = 100 - 2x em termos de uma única variável para facilitar a derivação. Da equação da cerca:
A = x times (100 - 2x)
Substituindo na expressão da área:
A = 100x - 2x^2

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de dAdx = 100 - 4x que maximiza a área, vamos derivar 100 - 4x = 0 em relação a 4x = 100 e encontrar onde essa derivada é zero.
A derivada de x = 25 em relação a é:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Agora que encontramos y = 100 - 2(25) metros, vamos encontrar y = 100 - 50 usando a equação da cerca:
y = 50

Passo 6

Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a área, podemos verificar a segunda derivada:
d^2Adx^2 = -4
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo.

Resposta

As dimensões que maximizam a área do cercado são 25 metros de largura e 50 metros de comprimento.

Exercícios relacionados