Elaborar uma questão que envolva um dos assuntos da prova e cálculo diferencial/integral e a resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre otimização usando cálculo diferencial. A gente tem uma situação onde uma empresa quer construir um cercado retangular ao lado de uma parede, usando 100 metros de cerca, e o objetivo é encontrar as dimensões que vão maximizar a área desse cercado. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o ponto onde a área é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário. Temos um retângulo ao lado de uma parede, então não precisamos cercar a parede. Isso significa que vamos usar o material da cerca para os dois lados verticais e um lado horizontal do retângulo.
Vamos chamar a largura do retângulo de metros e o comprimento, que fica paralelo à parede, de metros.
A quantidade total de cerca usada é 100 metros, então podemos escrever a equação:
Agora, queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:

Passo 3

A gente quer expressar a área em termos de uma única variável para facilitar a derivação. Da equação da cerca:
Substituindo na expressão da área:

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos derivar em relação a e encontrar onde essa derivada é zero.
A derivada de em relação a é:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Agora que encontramos metros, vamos encontrar usando a equação da cerca:

Passo 6

Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a área, podemos verificar a segunda derivada:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo.

Resposta

As dimensões que maximizam a área do cercado são 25 metros de largura e 50 metros de comprimento.

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