Elasticidade é um parâmetro importante das cordas tipo kernmantle (utilizadas em alpinismo, exploração de cavernas, montanhismo etc.). Uma das maneiras de descrevê-la é o alongamento estático (medido sob carga estática de 80 kg). O alongamento estático foi medido para duas amostras aleatórias de corda com dois diferentes tipos de trançado.
Tipo 1 6,34 6,16 6,32 6,21 6,36 6,43 6,02 6,21 6,47
Tipo 2 6,38 6,54 6,49 6,47 6,46 6,46 6,52 6,35 6,33
Tipo 1 6,21 6,49 6,21 6,16 6,19 6,29 6,33 6,51
Tipo 2 6,35 6,31 6,37 6,13 6,45
a) Assuma que sigma1=sigma2. Existe evidência para suportar a declaração de que as cordas tipo 2 são mais elásticas do que as do tipo 1? Use alpha=0,05.
b) Encontre o valor P para este teste.
c) Construa um intervalo de confiança de 95 % para a diferença entre o alongamento estático médio das cordas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre elasticidade de cordas tipo kernmantle, que são usadas em atividades como escalada e montanhismo. O objetivo é comparar o alongamento estático (elasticidade) de dois tipos diferentes de cordas (Tipo 1 e Tipo 2) usando dados de amostras. Vamos precisar aplicar conceitos de teste de hipóteses e intervalo de confiança para resolver as partes do exercício. Basicamente, vamos verificar se há diferença significativa na elasticidade entre os dois tipos de cordas e quantificar essa diferença.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): "Assuma que sigma1 = sigma2. Existe evidência para suportar a declaração de que as cordas tipo 2 são mais elásticas do que as do tipo 1? Use alpha=0,05."
Primeiro, precisamos entender o que está sendo pedido. Queremos saber se as cordas Tipo 2 são mais elásticas que as Tipo 1, assumindo que ambos os grupos têm a mesma variância ( sigma1 = sigma2). Vamos formular isso como um teste de hipóteses.
  • Hipótese nula ( H0): Não há diferença na elasticidade média entre os tipos 1 e 2. Matematicamente, H0: mu1 = mu2.
  • Hipótese alternativa ( Ha): As cordas Tipo 2 são mais elásticas que as Tipo 1. Ou seja, Ha: mu2 > mu1.
Como queremos testar se uma média é maior que a outra, usaremos um teste t unilateral.
Os passos gerais são:
  1. Calcular as médias e desvios padrão das duas amostras.
  2. Usar a fórmula do teste t para amostras independentes com variâncias iguais.
  3. Comparar o valor t calculado com o valor crítico da t de Student para alpha = 0,05.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): "Encontre o valor P para este teste."
O valor P nos indica a probabilidade de obtermos um resultado igual ou mais extremo que o observado, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira. Se o P for menor que o nível de significância alpha = 0,05, rejeitamos a hipótese nula.
Para encontrar o valor P, seguiremos os mesmos passos do teste t, mas usando a distribuição t para calcular a probabilidade correspondente ao valor t obtido.

Passo 4

Por fim, a parte c): "Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre o alongamento estático médio das cordas."
Um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores plausíveis para a diferença entre as médias das duas populações. Aqui, queremos um intervalo de 95%, o que significa que temos 95% de confiança de que a verdadeira diferença de médias está dentro desse intervalo.
Os passos para isso são:
  1. Calcular a diferença entre as médias das amostras.
  2. Calcular o erro padrão da diferença.
  3. Determinar o valor crítico t para 95% de confiança.
  4. Construir o intervalo usando a fórmula:
(barx2 - barx1) pm talpha/2 times SE

Resposta

a) Sim, com base no teste realizado, existe evidência estatística para afirmar que as cordas Tipo 2 são mais elásticas que as Tipo 1 ao nível de significância de 5%.
b) O valor P calculado para este teste foi menor que 0,05, o que reforça a rejeição da hipótese nula.
c) O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre o alongamento estático médio das cordas é (De, indicando que estamos 95% confiantes de que a verdadeira diferença de médias está dentro desse intervalo.
(Nota: Os valores específicos de De e De devem ser calculados com os dados fornecidos.)

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