Numa eleição com dois candidatos
e
, há 20 eleitores e o candidato
vence por
. Quantas são as marchas da apuração:
(a) Possíveis?
(b) Nas quais o candidato
permanece em vantagem (nem sequer empata) desde o primeiro voto apurado?
© Nas quais o candidato
permanece sempre em vantagem ou empatado com o candidato
?
(a) Possíveis?
(b) Nas quais o candidato
© Nas quais o candidato
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma eleição com dois candidatos, o A e o B. No total, 20 eleitores votaram, e o candidato A ganhou recebendo 15 votos contra 5 do B. O que a gente precisa descobrir são as diferentes maneiras de contar esses votos de três jeitos diferentes:
(a) Quantas sequências de apuração são possíveis?
(b) Quantas dessas sequências mantêm o candidato A sempre na frente, sem nunca empatar desde o primeiro voto?
© Quantas sequências fazem com que o candidato A fique sempre na frente ou empatado com o B?
(b) Quantas dessas sequências mantêm o candidato A sempre na frente, sem nunca empatar desde o primeiro voto?
© Quantas sequências fazem com que o candidato A fique sempre na frente ou empatado com o B?
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Quantas sequências de apuração são possíveis?
Aqui, estamos querendo saber de quantas maneiras diferentes podemos organizar os 15 votos do A e os 5 votos do B. Isso é um problema de combinação, onde a ordem dos votos importa.
A fórmula para isso é a combinação de 20 votos escolhendo 15 para o A (ou 5 para o B, o que for mais fácil). Usamos a seguinte fórmula:
Calculando:
Passo 3
Parte (b): Sequências onde o candidato A está sempre à frente (sem empates) desde o primeiro voto.
Esse é um problema clássico conhecido como o Problema da Balança ou Problema da Diferença. Queremos que, em nenhuma etapa da contagem, o candidato B ultrapasse ou empate A.
A fórmula para isso é:
Onde:
-
(votos do A) -
(votos do B)
Substituindo:
Passo 4
Parte ©: Sequências onde o candidato A está sempre à frente ou empatado com o candidato B.
Agora, queremos que A nunca fique atrás, mas pode estar empatado. Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Ops! Parece que houve um erro aqui. Vamos corrigir:
Na verdade, a fórmula correta para sequências onde A está sempre à frente ou empatado é:
No entanto, percebemos que isso resultaria em um número negativo, o que não faz sentido. O erro aqui está na interpretação da fórmula. A fórmula correta para este caso é:
Substituindo:
Resposta
(a) 15504 sequências possíveis.
(b) 7752 sequências nas quais o candidato A permanece sempre em vantagem.
© 11808 sequências nas quais o candidato A permanece sempre em vantagem ou empatado com o candidato B.
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