Numa eleição com dois candidatos A e B, há 20 eleitores e o candidato A vence por 15 times 5. Quantas são as marchas da apuração:
(a) Possíveis?
(b) Nas quais o candidato A permanece em vantagem (nem sequer empata) desde o primeiro voto apurado?
© Nas quais o candidato A permanece sempre em vantagem ou empatado com o candidato B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma eleição com dois candidatos, o A e o B. No total, 20 eleitores votaram, e o candidato A ganhou recebendo 15 votos contra 5 do B. O que a gente precisa descobrir são as diferentes maneiras de contar esses votos de três jeitos diferentes:
(a) Quantas sequências de apuração são possíveis?
(b) Quantas dessas sequências mantêm o candidato A sempre na frente, sem nunca empatar desde o primeiro voto?
© Quantas sequências fazem com que o candidato A fique sempre na frente ou empatado com o B?
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Quantas sequências de apuração são possíveis?
Aqui, estamos querendo saber de quantas maneiras diferentes podemos organizar os 15 votos do A e os 5 votos do B. Isso é um problema de combinação, onde a ordem dos votos importa.
A fórmula para isso é a combinação de 20 votos escolhendo 15 para o A (ou 5 para o B, o que for mais fácil). Usamos a seguinte fórmula:
Número de sequências = binom2015 = binom205 úê
Calculando:
binom205 = 20!5! times (20-5)! = 20!5! times 15! = 15504

Passo 3

Parte (b): Sequências onde o candidato A está sempre à frente (sem empates) desde o primeiro voto.
Esse é um problema clássico conhecido como o Problema da Balança ou Problema da Diferença. Queremos que, em nenhuma etapa da contagem, o candidato B ultrapasse ou empate A.
A fórmula para isso é:
Número de sequências = a - ba + b times binoma + ba úê
Onde:
  • Número de sequências = 15 - 515 + 5 times binom2015 = 1020 times 15504 = 12 times 15504 = 7752 (votos do A)
  • (votos do B)
Substituindo:
úê

Passo 4

Parte ©: Sequências onde o candidato A está sempre à frente ou empatado com o candidato B.
Agora, queremos que A nunca fique atrás, mas pode estar empatado. Para isso, usamos a fórmula:
Número de sequências = binoma + ba - binoma + ba - 1 úê
Substituindo os valores:
Número de sequências = binom2015 - binom2014 = 15504 - 38760 úê
Ops! Parece que houve um erro aqui. Vamos corrigir:
Na verdade, a fórmula correta para sequências onde A está sempre à frente ou empatado é:
Número de sequências = binom2015 - binom2014 = 15504 - 38760 úê
No entanto, percebemos que isso resultaria em um número negativo, o que não faz sentido. O erro aqui está na interpretação da fórmula. A fórmula correta para este caso é:
Número de sequências = a + 1a + b + 1 times binoma + ba úê
Substituindo:
Número de sequências = 15 + 115 + 5 + 1 times 15504 = 1621 times 15504 approx 11808 úê

Resposta

(a) 15504 sequências possíveis.
(b) 7752 sequências nas quais o candidato A permanece sempre em vantagem.
© 11808 sequências nas quais o candidato A permanece sempre em vantagem ou empatado com o candidato B.

Exercícios relacionados