Uma prova consta de quinze questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as dez questões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma prova tem 15 questões, mas o estudante precisa resolver apenas 10 delas. A nossa missão é descobrir de quantas maneiras diferentes ele pode escolher essas 10 questões. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, que é uma área da matemática que estuda as diferentes maneiras de selecionar itens de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando estamos escolhendo itens sem nos importar com a ordem, estamos falando de combinações. No nosso caso, a ordem em que as questões são escolhidas não importa, apenas quais questões são escolhidas.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Aqui, é o número total de itens (no caso, 15 questões) e é o número de itens que queremos escolher (10 questões).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
C(15, 10) = 15!10! times (15 - 10)! = 15!10! times 5!

Passo 5

Agora, precisamos calcular os fatoriais:
  • é apenas

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
C(15, 10) = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10!10! times 120

Passo 7

Os C(15, 10) = 15 times 14 times 13 times 12 times 11120 se cancelam:

Passo 8

Agora, vamos multiplicar os números no numerador:
15 times 14 = 210 210 times 13 = 2730 2730 times 12 = 32760 32760 times 11 = 360360
Então, temos:
C(15, 10) = 360360120

Passo 9

Dividindo:
360360120 = 3003

Resposta

O aluno pode escolher as dez questões de 3003 maneiras diferentes.

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