Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras
juntas?
Passo 1
Resumo da questão: A gente quer descobrir quantos anagramas da palavra PIRACICABA não têm duas letras A juntinhas. Para resolver isso, vamos usar ideias de permutação com restrições, considerando as letras que se repetem e garantindo que as A fiquem sempre separadas.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantas letras não são A na palavra PIRACICABA. A palavra tem 10 letras no total, com 3 letras A. Então, temos 7 letras que não são A: P, I, R, C, I, C, B.
Passo 3
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos arranjar essas 7 letras que não são A. Como algumas letras se repetem (temos duas I e duas C), usamos a fórmula de permutação de multiconjunto:
Aqui, o 7! representa todas as permutações possíveis das 7 letras, e os 2! no denominador ajustam pela repetição das letras I e C.
Passo 4
Em seguida, precisamos posicionar as letras A de forma que nenhuma delas fique ao lado de outra. Para isso, imagine que as 7 letras já estão arranjadas. Existem 8 espaços onde as letras A podem ser inseridas (antes, entre e depois das letras):
Passo 5
Precisamos escolher 3 desses 8 espaços para colocar as letras A. O número de maneiras de fazer isso é dado pela combinação:
Isso significa que estamos escolhendo 3 espaços dentre os 8 disponíveis para colocar as A sem que elas fiquem juntas.
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o número de arranjos das letras que não são A pelo número de maneiras de posicionar as letras A:
Resposta
O número total de anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras A juntas é:
Portanto, existem 70.560 anagramas que atendem a essa condição.