Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras juntas?

Passo 1

Resumo da questão: A gente quer descobrir quantos anagramas da palavra PIRACICABA não têm duas letras A juntinhas. Para resolver isso, vamos usar ideias de permutação com restrições, considerando as letras que se repetem e garantindo que as A fiquem sempre separadas.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas letras não são A na palavra PIRACICABA. A palavra tem 10 letras no total, com 3 letras A. Então, temos 7 letras que não são A: P, I, R, C, I, C, B.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos arranjar essas 7 letras que não são A. Como algumas letras se repetem (temos duas I e duas C), usamos a fórmula de permutação de multiconjunto:
Aqui, o 7! representa todas as permutações possíveis das 7 letras, e os 2! no denominador ajustam pela repetição das letras I e C.

Passo 4

Em seguida, precisamos posicionar as letras A de forma que nenhuma delas fique ao lado de outra. Para isso, imagine que as 7 letras já estão arranjadas. Existem 8 espaços onde as letras A podem ser inseridas (antes, entre e depois das letras):

Passo 5

Precisamos escolher 3 desses 8 espaços para colocar as letras A. O número de maneiras de fazer isso é dado pela combinação:
Isso significa que estamos escolhendo 3 espaços dentre os 8 disponíveis para colocar as A sem que elas fiquem juntas.

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o número de arranjos das letras que não são A pelo número de maneiras de posicionar as letras A:

Resposta

O número total de anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras A juntas é:
Portanto, existem 70.560 anagramas que atendem a essa condição.

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