Um elemento aquecedor elétrico fino fornece um fluxo térmico uniforme para a superfície externa de um duto através do qual escoa ar. A parede do duto tem uma espessura de 15 mm e uma condutividade térmica de 26 W/m.K. Em uma determinada posição, a temperatura do ar é de 40°C e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o ar e a superfície interna do duto é de 150 W/m².K. Qual é o fluxo térmico por unidade de área necessário para manter a superfície interna do duto a Ti= 100°C?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um aquecedor elétrico que está distribuindo calor de maneira uniforme na superfície externa de um duto por onde passa ar. A parede desse duto tem 15 mm de espessura e uma condutividade térmica de 26 W/m·K. Em um ponto específico, a temperatura do ar dentro do duto é de 40°C, e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o ar e a superfície interna do duto é de 150 W/m²·K. A pergunta é: qual é o fluxo térmico por unidade de área necessário para manter a superfície interna do duto a 100°C?
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e convecção de calor, além da Lei de Fourier para condução e a equação de convecção para transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de calor ($ q $) através da parede do duto pode ser calculado usando a Lei de Fourier para condução:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica (26 W/m·K),
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura através da parede,
- $ d $ é a espessura da parede (15 mm = 0,015 m).
Mas, no nosso caso, a transferência de calor não ocorre apenas por condução na parede, mas também por convecção na superfície interna do duto. Então, precisamos considerar ambos os processos.
Passo 3
Vamos considerar que o fluxo de calor que passa pela parede por condução deve ser igual ao fluxo de calor que sai para o ar por convecção. Ou seja:
Onde:
- $ q_{cond} $ é o fluxo de calor por condução,
- $ q_{conv} $ é o fluxo de calor por convecção.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o fluxo de calor por condução ($ q_{cond} $) usando a Lei de Fourier:
Aqui:
- $ T_i $ é a temperatura interna da superfície do duto (100°C),
- $ T_a $ é a temperatura do ar (40°C).
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo de calor por convecção ($ q_{conv} $) usando a equação da convecção:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção (150 W/m²·K),
- $ T_i $ e $ T_a $ são as mesmas de antes.
Substituindo os valores:
Passo 6
Notamos que $ q_{cond} $ é muito maior que $ q_{conv} $. Isso indica que há um desequilíbrio na transferência de calor. Para manter a superfície interna do duto a 100°C, o fluxo térmico fornecido pelo aquecedor deve ser suficiente para compensar essa diferença.
Portanto, o fluxo térmico por unidade de área necessário é igual ao fluxo de calor por condução calculado:
Resposta
O fluxo térmico necessário é de 104 000 W/m².